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題型1:指數(shù)運算例1．(1)計算:, (2)化簡:. 解:(1)原式= , (2)原式= . 點評:根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解.對化簡求值的結(jié)果.一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留,一般的進行指數(shù)冪運算時.化負指數(shù)為正指數(shù).化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運算.同時兼顧運算的順序. 例2．已知.求的值. 解:∵. ∴. ∴. ∴. ∴. ∴. 又∵. ∴. 點評:本題直接代入條件求解繁瑣.故應(yīng)先化簡變形.創(chuàng)造條件簡化運算. 題型2:對數(shù)運算例3．計算 (1),(2), (3). 解:(1)原式 , (2)原式 , (3)分子=, 分母=, 原式=. 點評:這是一組很基本的對數(shù)運算的練習(xí)題.雖然在考試中這些運算要求并不高.但是數(shù)式運算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功.通過這樣的運算練習(xí)熟練掌握運算公式.法則.以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧. 例4．設(shè)..為正數(shù).且滿足 (1)求證:, (2)若..求..的值. 證明:(1)左邊 , 解:(2)由得. ∴-----① 由得---- -----② 由①②得--------------③ 由①得.代入得. ∵. ∴------------④ 由③.④解得..從而. 點評:對于含對數(shù)因式的證明和求值問題.還是以對數(shù)運算法則為主.將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可. 題型3:指數(shù).對數(shù)方程例5．設(shè)關(guān)于的方程R). (1)若方程有實數(shù)解.求實數(shù)b的取值范圍, (2)當(dāng)方程有實數(shù)解時.討論方程實根的個數(shù).并求出方程的解. 解:(1)原方程為. . 時方程有實數(shù)解, (2)①當(dāng)時..∴方程有唯一解, ②當(dāng)時.. 的解為, 令的解為, 綜合①.②.得 1)當(dāng)時原方程有兩解:, 2)當(dāng)時.原方程有唯一解, 3)當(dāng)時.原方程無解. 點評:具有一些綜合性的指數(shù).對數(shù)問題.問題的解答涉及指數(shù).對數(shù)函數(shù).二次函數(shù).參數(shù)討論.方程討論等各種基本能力.這也是指數(shù).對數(shù)問題的特點.題型非常廣泛.應(yīng)通過解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗. 例6．方程的解為 . 解:考察對數(shù)運算.原方程變形為.即.得.且有.從而結(jié)果為. 點評:上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式.對數(shù)式等式的形式.解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù).對數(shù)因式的普通等式或方程的形式.再來求解. 題型4:指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例7．設(shè)( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解:C,.. 點評:利用指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)的概念.求解函數(shù)的值. 例8．已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解:令.則x=.t∈R. 所以即.(x∈R). 因為f(-x)=f(x).所以f(x)為偶函數(shù).故只需討論f(x)在[0.+∞)上的單調(diào)性. 任取..且使.則 (1)當(dāng)a>1時.由.有..所以.即f(x)在[0.+∞]上單調(diào)遞增. (2)當(dāng)0<a<1時.由.有..所以.即f(x)在[0.+∞]上單調(diào)遞增. 綜合所述.[0.+∞]是f(x)的單調(diào)增區(qū)間.是f(x)的單調(diào)區(qū)間. 點評:求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域.值域.甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理.特別是分兩種情況來處理. 題型5:指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用例9．若函數(shù)的圖象與x軸有公共點.則m的取值范圍是( ) A．m≤-1 B．-1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1 解:. 畫圖象可知-1≤m<0. 答案為B. 點評:本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征.解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征. 例10．設(shè)函數(shù)的取值范圍. 解:由于是增函數(shù).等價于 ① 1)當(dāng)時..①式恒成立, 2)當(dāng)時..①式化為.即, 3)當(dāng)時..①式無解, 綜上的取值范圍是. 點評:處理含有指數(shù)式的不等式問題.借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問題(一元一次.一元二次不等式)來處理. 題型6:對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例11．(1)函數(shù)的定義域是( ) A． B． C． D．設(shè)f(x)＝.則的定義域為( ) A． B．(1.4) C．(1.2) D．(2.4) 解:(1)D(2)B. 點評:求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍.在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義.對于抽象函數(shù)的處理要注意對應(yīng)法則的對應(yīng)關(guān)系. 例12．對于. (1)函數(shù)的“定義域為R 和“值域為R 是否是一回事, (2)結(jié)合“實數(shù)a的取何值時在上有意義與“實數(shù)a的取何值時函數(shù)的定義域為說明求“有意義問題與求“定義域問題的區(qū)別, 兩問.說明實數(shù)a的取何值時的值域為 (4)實數(shù)a的取何值時在內(nèi)是增函數(shù). 解:記.則, (1)不一樣, 定義域為R恒成立. 得:.解得實數(shù)a的取值范圍為. 值域為R:值域為R至少取遍所有的正實數(shù). 則.解得實數(shù)a的取值范圍為. (2)實數(shù)a的取何值時在上有意義: 命題等價于對于任意恒成立. 則或. 解得實數(shù)a得取值范圍為. 實數(shù)a的取何值時函數(shù)的定義域為: 由已知得二次不等式的解集為可得.則a=2.故a的取值范圍為{2}. 區(qū)別:“有意義問題正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問題來處理.而“定義域問題剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問題來解決(這里轉(zhuǎn)化成了解集問題.即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值) (3)易知得值域是.又得值域是. 得.故a得取值范圍為{-1.1}. (4)命題等價于在上為減函數(shù).且對任意的恒成立.則.解得a得取值范圍為. 點評:該題主要考察復(fù)合對數(shù)函數(shù)的定義域.值域以及單調(diào)性問題.解題過程中遇到了恒成立問題.“恒為正與“取遍所有大于零的數(shù) 不等價.同時又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況.解題過程中結(jié)合三個“二次的重要結(jié)論來進行處理. 題型7:對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用例13．當(dāng)a>1時.函數(shù)y=logax和y=(1-a)x的圖象只可能是( ) 解:當(dāng)a>1時.函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選. 又a>1時.y=(1-a)x為減函數(shù). 答案:B 點評:要正確識別函數(shù)圖像.一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像.二是把握圖像的性質(zhì).根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷.如過定點.定義域.值域.單調(diào)性.奇偶性. 例14．設(shè)A.B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D. (1)求點D的坐標(biāo), (2)當(dāng)△ABC的面積大于1時, 求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)易知D為線段AB的中點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)). 所以由中點公式得D(a+2, log2 ). (2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=-= log2, 其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影. 由S△ABC= log2>1, 得0< a<2-2. 點評:解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質(zhì).注意底數(shù)分類來處理.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題. 題型8:指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)綜合問題例15．在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),-,Pn(an,bn)-.對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖象上.且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形. (1)求點Pn的縱坐標(biāo)bn的表達式, (2)若對于每個自然數(shù)n.以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形.求a的取值范圍, (3)設(shè)Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù).問數(shù)列{Cn}前多少項的和最大?試說明理由. 解:(1)由題意知:an=n+,∴bn=2000(). (2)∵函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減. ∴對每個自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2. 則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn. 即()2+()-1>0. 解得a<-5(1+)或a>5(-1). ∴5(-1)<a<10. (3)∵5(-1)<a<10.∴a=7 ∴bn=2000().數(shù)列{bn}是一個遞減的正數(shù)數(shù)列. 對每個自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn-1. 于是當(dāng)bn≥1時.Bn<Bn-1.當(dāng)bn<1時.Bn≤Bn-1. 因此數(shù)列{Bn}的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1<1. 由bn=2000()≥1得:n≤20. ∴n=20. 點評:本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識.以及三角形的面積解決了實際問題. 例16．已知函數(shù)為常數(shù)) (1)求函數(shù)f(x)的定義域, (2)若a=2.試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性. (3)若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù).求a的取值范圍. 解:(1)由 ∵a＞0.x≥0 ∴f(x)的定義域是. (2)若a=2.則設(shè) . 則故f(x)為增函數(shù). (3)設(shè) ① ∵f(x)是增函數(shù). ∴f(x1)＞f(x2) 即 ② 聯(lián)立①.②知a＞1. ∴a∈. 點評:該題屬于純粹的研究復(fù)合對函數(shù)性質(zhì)的問題.我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點.結(jié)合一般函數(shù)求定義域.單調(diào)性的解題思路.對“路處理即可. 題型9:課標(biāo)創(chuàng)新題例17．對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x).如果對任意的.均有.則稱f(x)與g(x)在上是接近的.否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的.現(xiàn)有兩個函數(shù)與.給定區(qū)間. (1)若與在給定區(qū)間上都有意義.求a的取值范圍, (2)討論與在給定區(qū)間上是否是接近的. 解:(1)兩個函數(shù)與在給定區(qū)間有意義.因為函數(shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增.函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù). 故有意義當(dāng)且僅當(dāng), (2)構(gòu)造函數(shù). 對于函數(shù)來講. 顯然其在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞增. 且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù). 由于.得所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.只需保證當(dāng)時.與在區(qū)間上是接近的, 當(dāng)時.與在區(qū)間上是非接近的. 點評:該題屬于信息給予的題目.考生首先理解“接近與“非接近的含義.再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近進行研究.轉(zhuǎn)化成含有對數(shù)因式的不等式問題.解不等式即可. 例18．設(shè)..且.求的最小值. 解:令 . ∵..∴. 由得.∴. ∴.∵.∴.即.∴. ∴. ∵.∴當(dāng)時.. 點評:對數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識處理最值問題.這是出題的一個亮點.同時考察了學(xué)生的變形能力. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

定義閉集合S：若a，b∈S，則a+b∈S，a-b∈S．
（1）舉一例，真包含于R的無限閉集合；
（2）求證：對任意兩個比集合S₁，S₂，S₁⊆R，S₂⊆R，存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

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已知0＜a＜1，定義運算m※n=

m(m≤n)

n(m＞n)

，若a^2x※（a^x+6）＞1，則實數(shù)x的取值范圍是

（-∞，0）

．

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（2013•閔行區(qū)二模）用二分法研究方程x³+3x-1=0的近似解x=x₀，借助計算器經(jīng)過若干次運算得下表：