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題型1:共線.共點(diǎn)和共面問題 例1．(1)如圖所示.平面ABD平面BCD ＝直線BD .M .N .P .Q 分別為線段AB .BC .CD .DA 上的點(diǎn).四邊形MNPQ 是以PN .QM 為腰的梯形. 試證明三直線BD .MQ .NP 共點(diǎn). 證明:∵ 四邊形MNPQ 是梯形.且MQ .NP 是腰. ∴直線MQ .NP 必相交于某一點(diǎn)O . ∵ O 直線MQ ,直線MQ 平面ABD . ∴ O 平面ABD. 同理.O 平面BCD .又兩平面ABD .BCD 的交線為BD . 故由公理二知.O 直線BD .從而三直線BD .MQ .NP 共點(diǎn). 點(diǎn)評:由已知條件.直線MQ .NP 必相交于一點(diǎn)O .因此.問題轉(zhuǎn)化為求證點(diǎn)O 在直線BD 上.由公理二.就是要尋找兩個平面.使直線BD 是這兩個平面的交線.同時點(diǎn)O 是這兩個平面的公共點(diǎn)即可．“三點(diǎn)共線 及“三線共點(diǎn) 的問題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線上 的問題. (2)如圖所示.在四邊形ABCD中.已知AB∥CD.直線AB.BC.AD.DC分別與平面α相交于點(diǎn)E.G.H.F．求證:E.F.G.H四點(diǎn)必定共線. 證明:∵AB∥CD. ∴AB.CD確定一個平面β． 又∵ABα＝E.ABβ.∴E∈α.E∈β. 即E為平面α與β的一個公共點(diǎn). 同理可證F.G.H均為平面α與β的公共點(diǎn)． ∵兩個平面有公共點(diǎn).它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線. ∴E.F.G.H四點(diǎn)必定共線. 點(diǎn)評:在立體幾何的問題中.證明若干點(diǎn)共線時.常運(yùn)用公理2.即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn).而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論. 例2．已知:a.b.c.d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線.求證:a.b.c.d共面. 證明:1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn).不妨設(shè)a.b.c相交于一點(diǎn)A. 但AÏd.如圖1所示: ∴直線d和A確定一個平面α. 又設(shè)直線d與a.b.c分別相交于E.F.G. 則A.E.F.G∈α. ∵A.E∈α.A.E∈a.∴aα. 同理可證bα.cα. ∴a.b.c.d在同一平面α內(nèi). 2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時. 如圖2所示: ∵這四條直線兩兩相交.則設(shè)相交直線a.b確定一個平面α. 設(shè)直線c與a.b分別交于點(diǎn)H.K.則H.K∈α. 又 H.K∈c.∴c,則cα. 同理可證dα. ∴a.b.c.d四條直線在同一平面α內(nèi)． 點(diǎn)評:證明若干條線共面的一般步驟是:首先根據(jù)公理3或推論.由題給條件中的部分線確定一個平面.然后再根據(jù)公理1證明其余的線均在這個平面內(nèi).本題最容易忽視“三線共點(diǎn) 這一種情況.因此.在分析題意時.應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義. 題型2:異面直線的判定與應(yīng)用 例3．已知:如圖所示.a b ＝a .b b .a b ＝A .c a .c ∥a .求證直線b .c 為異面直線. 證法一:假設(shè)b .c 共面于g ．由A a .a ∥c 知.A c .而a b ＝A.a b ＝a . ∴ A g .A a. 又c a .∴ g .a 都經(jīng)過直線c 及其外的一點(diǎn)A. ∴ g 與a 重合.于是a g .又b b. 又g .b 都經(jīng)過兩相交直線a .b .從而g .b 重合. ∴ a .b .g 為同一平面.這與a b ＝a 矛盾. ∴ b .c 為異面直線． 證法二:假設(shè)b .c 共面.則b .c 相交或平行. (1)若b ∥c .又a ∥c .則由公理4知a ∥b .這與a b ＝A 矛盾. (2)若b c ＝P .已知b b .c a .則P 是a .b 的公共點(diǎn).由公理2.P a .又b c ＝P .即P c .故a c ＝P .這與a ∥c 矛盾. 綜合可知.b .c 為異面直線. 證法三:∵ a b ＝a .a b ＝A .∴ A a . ∵ a ∥c .∴ A c . 在直線b 上任取一點(diǎn)P(P 異于A).則P a(否則b a .又a a .則a .b 都經(jīng)過兩相交直線a .b .則a .b 重合.與a b ＝a 矛盾). 又c a .于是根據(jù)“過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線.和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 知.b .c 為異面直線. 點(diǎn)評:證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條:一是利用反證法,二是利用結(jié)論“過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線.和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．.異面直線又有兩條途徑:其一是直接假設(shè)b .c 共面而產(chǎn)生矛盾,其二是假設(shè)b .c 平行與相交,分別產(chǎn)生矛盾.判定直線異面.若為解答題.則用得最多的是證法一.二的思路,若為選擇或填空題.則往往都是用證法三的思路.用反證法證題.一般可歸納為四個步驟:進(jìn)行推理,肯定結(jié)論． 宜用反證法證明的命題往往是(1)基本定理或某一知識系統(tǒng)的初始階段的命題(如立體幾何中的線面.面面平行的判定定量的證明等),(2)肯定或否定型的命題(如結(jié)論中出現(xiàn)“必有 .“必不存在 等一類命題),(3)唯一型的命題(如“圖形唯一 .“方程解唯一 等一類命題),(4)正面情況較為繁多.而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題,(5)結(jié)論中出現(xiàn)“至多 .“不多于 等一類命題. 例4．(1)已知異面直線a,b所成的角為70.則過空間一定點(diǎn)O.與兩條異面直線a,b都成60角的直線有( )條 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點(diǎn)O.過點(diǎn)O有3條直線與a,b所成角都是60.則的取值可能是( ) A．30 B．50 C．60 D．90 解析:(1)過空間一點(diǎn)O分別作∥a,∥b. 將兩對對頂角的平分線繞O點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.總能得到與 都成60角的直線.故過點(diǎn) O與a,b都成60角的直線有4條.從而選D. (2)過點(diǎn)O分別作∥a.∥b.則過點(diǎn)O有三條直線與a,b所成角都為60.等價于過點(diǎn)O有三條直線與所成角都為60.其中一條正是角的平分線.從而可得選項(xiàng)為C. 點(diǎn)評:該題以學(xué)生對異面直線所成的角會適當(dāng)轉(zhuǎn)化.較好的考察了空間想象能力. 題型3:線線平行的判定與性質(zhì) 例5．關(guān)于直線a.b.l及平面M.N.下列命題中正確的是( ) A．若a∥M.b∥M.則a∥b B．若a∥M.b⊥a.則b⊥M C．若aM.bM.且l⊥a.l⊥b.則l⊥M D．若a⊥M.a∥N.則M⊥N 解析:解析:A選項(xiàng)中.若a∥M.b∥M.則有a∥b或a與b相交或a與b異面.B選項(xiàng)中.b可能在M內(nèi).b可能與M平行.b可能與M相交.C選項(xiàng)中須增加a與b相交.則l⊥M.D選項(xiàng)證明如下:∵a∥N.過a作平面α與N交于c.則c∥a.∴c⊥M.故M⊥N.答案D. 點(diǎn)評:本題考查直線與直線.直線與平面.平面與平面的基本性質(zhì). 例6．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB.M∈AC.N∈FB.且AM=FN.求證:MN∥平面BCE. 證法一:作MP⊥BC.NQ⊥BE.P.Q為垂足.則MP∥AB.NQ∥AB. ∴MP∥NQ.又AM=NF.AC=BF. ∴MC=NB.∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ.故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE.MN在平面BCE外. ∴MN∥平面BCE. 證法二:如圖過M作MH⊥AB于H.則MH∥BC. ∴ 連結(jié)NH.由BF=AC.FN=AM.得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE. 題型4:線面平行的判定與性質(zhì) 例7．如圖.在長方體中.分別是的中點(diǎn).分別是的中點(diǎn)..求證:面. 證明:取的中點(diǎn).連結(jié), ∵分別為的中點(diǎn) ∵ ∴面.面 ∴面面 ∴面 點(diǎn)評:主要考察長方體的概念.直線和平面.平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識.主要考察線面平行的判定定理. 例8．如圖所示.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.點(diǎn)E在棱D1D上.截面EAC∥D1B.且面EAC與底面ABCD所成的角為45°.AB＝a. (Ⅰ)求截面EAC的面積, (Ⅱ)求異面直線A1B1與AC之間的距離, 解:(Ⅰ)如圖所示.連結(jié)DB交AC于O.連結(jié)EO. ∵底面ABCD是正方形. ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面AC. ∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角. ∴∠EOD＝45° DO＝a.AC＝a.EO＝a·sec45°＝a. 故S△EAC=EO·AC＝a2． (Ⅱ)由題設(shè)ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.得A1A⊥底面AC.A1A⊥AC． 又A1A⊥A1B1. ∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線. ∵D1B∥面EAC.且面D1BD與面EAC交線為EO. ∴D1B∥EO. 又O是DB的中點(diǎn) ∴E是D1D的中點(diǎn).D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝a 異面直線A1B1與AC間的距離為a. 題型5:面面平行的判定與性質(zhì) 例9．如圖.正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為a.證明:平面ACD1 ∥平面A1C1B . 證明:如圖.∵ A1BCD1 是矩形.A1B ∥D1C . 又D1C 平面D1CA .A1B 平面D1CA . ∴ A1B ∥平面D1CA. 同理A1C1 ∥平面D1CA .又A1C1 A1B ＝A1 .∴ 平面D1CA ∥平面BA1C1 ． 點(diǎn)評:證明面面平行.關(guān)鍵在于證明A1C1 與A1B 兩相交直線分別與平面ACD1 平行. 例10．P是△ABC所在平面外一點(diǎn).A′.B′.C′分別是△PBC.△PCA.△PAB的重心. (1)求證:平面A′B′C′∥平面ABC, (2)S△A′B′C′∶S△ABC的值. 解析:(1)取AB.BC的中點(diǎn)M.N. 則 ∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC. 同理A′B′∥面ABC. ∴△A′B′C′∥面ABC. (2)A′C′=MN=·AC=AC . 同理 ∴ 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

給出下列命題：
①如果向量
a
，
b
，
c
共面，向量
b
，
c
，
d
也共面，則向量
a
，
b
，
c
，
d
共面；
②已知直線a的方向向量
a
與平面α，若
a
∥平面α，則直線a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，則存在唯一實(shí)數(shù)x、y使
MP
=x
MA
+y
MB
；
④對空間任意點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x+y+z=1），則P、A、B、C四點(diǎn)共面； 在這四個命題中為真命題的序號有
 
．

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已知點(diǎn)A、O、B為平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若Ai（i=1，2，3，…，n）是該平面內(nèi)的任一點(diǎn)，且有
OAi
•
OB
=
OA
•
OB
，則點(diǎn)Ai（i=1，2，3，…，n）在（　�。�
A、過A點(diǎn)的拋物線上
B、過A點(diǎn)的直線上
C、過A點(diǎn)的圓心的圓上
D、過A點(diǎn)的橢圓上

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已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，給出下列命題：
①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；
②若平面α上有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β；
③若n，m為異面直線n?α，n∥β，m?β，m∥α，則α∥β．其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

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已知O，A，B是同一平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
，則下列命題正確的是
①②③④⑤
①②③④⑤
．（寫出所有正確命題的編號）
①若λ=
1
2
，μ=
1
2
，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)；
②若λ=-1，μ=2，則M，A，B三點(diǎn)共線；
③若λ=
1
|
OA
|
，μ=
1
|
OB
|
，則點(diǎn)M在∠AOB的平分線上；
④若λ=
1
3
，μ=
1
3
，則點(diǎn)M是△OAB的重心；
⑤若點(diǎn)M在△OAB外，則λ＜0或μ＜0或
λ＞
1
2
μ＞
1
2
．

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7、對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α與β平行的條件有（　　）

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同步練習(xí)冊答案