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題型1:直線的傾斜角例1．圖中的直線l1.l2.l3的斜率分別為k1.k2.k3.則( ) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案:D 解析:直線l1的傾斜角α1是鈍角.故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2.α3均為銳角.且α2＞α3.所以k2＞k3＞0.因此k2＞k3＞k1.故應(yīng)選D. 點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查直線的傾斜角.斜率的關(guān)系.考查數(shù)形結(jié)合的能力. 例2．過點(diǎn)P(2.1)作直線分別交x軸.y軸的正半軸于A.B兩點(diǎn).求的值最小時(shí)直線的方程. 解析:依題意作圖.設(shè)∠BAO＝. 則. . 當(dāng).即時(shí)的值最小.此時(shí)直線的傾斜角為135°. ∴斜率. 故直線的方程為.即. 點(diǎn)評(píng):求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ).也是重要的題型.解這類題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外.還要用到一些技巧. 題型2:斜率公式及應(yīng)用例3．設(shè)實(shí)數(shù)x.y滿足.則的最大值是 . 已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A.B兩點(diǎn).分別過點(diǎn)A.B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C.D兩點(diǎn). (1)證明點(diǎn)C.D和原點(diǎn)O在同一條直線上. (2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí).求點(diǎn)A的坐標(biāo). 解析:(1)如圖.實(shí)數(shù)x.y滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.而表示點(diǎn)(x.y)與原點(diǎn)連線的斜率.則直線AO的斜率最大.其中A點(diǎn)坐標(biāo)為.此時(shí).所以的最大值是. 點(diǎn)評(píng):本題還可以設(shè).則.斜率k的最大值即為的最大值.但求解頗費(fèi)周折. (2)證明:設(shè)A.B的橫坐標(biāo)分別為x1.x2.由題設(shè)知x1＞1.x2＞1.點(diǎn)A(x1.log8x1).B(x2.log8x2). 因?yàn)锳.B在過點(diǎn)O的直線上.所以. 又點(diǎn)C.D的坐標(biāo)分別為(x1.log2x1).(x2.log2x2) 由于log2x1＝＝3log8x1.log2x2＝＝3log8x2. 所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為 . 由此得kOC＝kOD.即O.C.D在同一條直線上. 由BC平行于x軸.有l(wèi)og2x1＝log8x2.解得 x2＝x13 將其代入.得x13log8x1＝3x1log8x1. 由于x1＞1.知log8x1≠0.故x13＝3x1.x1＝.于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為(.log8). 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象.對(duì)數(shù)換底公式.對(duì)數(shù)方程.指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算能力和分析問題的能力. 例4．當(dāng)時(shí).函數(shù)的最小值是( ) A．2 B． C．4 D．解析:原式化簡為.則y看作點(diǎn)A(0.5)與點(diǎn)的連線的斜率. 因?yàn)辄c(diǎn)B的軌跡是即過A作直線.代入上式.由相切可求出.由圖象知k的最小值是4.故選C. 點(diǎn)評(píng):也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等.但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰. 題型3:直線方程例5．已知直線的點(diǎn)斜式方程為.求該直線另外三種特殊形式的方程. 解析:(1)將移項(xiàng).展開括號(hào)后合并.即得斜截式方程. .(0.)均滿足方程.故它們?yōu)橹本€上的兩點(diǎn). 由兩點(diǎn)式方程得: 即 (3)由知:直線在y軸上的截距又令.得故直線的截距式方程點(diǎn)評(píng):直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系.它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式.要掌握好它們之間的互化.在解具體問題時(shí).要根據(jù)問題的條件.結(jié)論.靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式.使問題解得簡捷.明了. 例6．直線經(jīng)過點(diǎn)P.且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5.求直線的方程. 解析:設(shè)所求直線的方程為. ∵直線過點(diǎn)P..即. 又由已知有.即. 解方程組.得:或故所求直線的方程為:.或. 即.或點(diǎn)評(píng):要求的方程.須先求截距a.b的值.而求截距的方法也有三種: (1)從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來, (2)由斜截式或截距式方程確定截距, (3)在其他形式的直線方程中.令得軸上的截距b,令得出x軸上的截距a. 總之.在求直線方程時(shí).設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要.解題時(shí)善于觀察.勤于思考.常常能起到事半功倍的效果. 題型3:直線方程綜合問題例5．在直角坐標(biāo)系xOy中.已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0.y=0.2x+3y=30.則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)(即橫.縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的總數(shù)是( ) A．95 B．91 C．88 D．75 答案:B 解析一:由y=10-x(0≤x≤15.x∈N)轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)≤10-x(0≤x≤15.x∈N)所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0.y有11個(gè)整數(shù).x=1.y有10個(gè).x=2或x=3時(shí).y分別有9個(gè).x=4時(shí).y有8個(gè).x=5或6時(shí).y分別有7個(gè).類推:x=13時(shí)y有2個(gè).x=14或15時(shí).y分別有1個(gè).共91個(gè)整點(diǎn).故選B. 解析二:將x=0.y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形.如圖所示. 對(duì)角線上共有6個(gè)整點(diǎn).矩形中共有16×11=176.因此所求△AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91(個(gè)) 點(diǎn)評(píng):本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì).尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦.通過不等式解等知識(shí)探索解題途徑. 例6．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P(1.0).且與定直線l:x=-1相切.點(diǎn)C在l上. (Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程, (Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P.且斜率為-的直線與曲線M相交于A.B兩點(diǎn). (i)問:△ABC能否為正三角形?若能.求點(diǎn)C的坐標(biāo),若不能.說明理由, (ii)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí).求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍. (Ⅰ)解法一.依題意.曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn).直線l為準(zhǔn)線的拋物線.所以曲線M的方程為y2=4x. 解法二:設(shè)M(x.y).依題意有|MP|=|MN|. 所以|x+1|=.化簡得:y2=4x. (Ⅱ)(i)由題意得.直線AB的方程為y=-(x-1). 由消y得3x2-10x+3=0. 解得x1=.x2=3. 所以A點(diǎn)坐標(biāo)為().B點(diǎn)坐標(biāo)為(3.-2). |AB|=x1+x2+2=. 假設(shè)存在點(diǎn)C(-1.y).使△ABC為正三角形.則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|.即 ① ② 由①-②得42+(y+2)2=()2+(y-)2. 解得y=-. 但y=-不符合①. 所以由①.②組成的方程組無解. 因此.直線l上不存在點(diǎn)C.使得△ABC是正三角形. (ii)解法一:設(shè)C(-1.y)使△ABC成鈍角三角形.由得y=2. 即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1.2)時(shí).A.B.C三點(diǎn)共線.故y≠2. 又|AC|2=(-1-)2+(y-)2=+y2. |BC|2=(3+1)2+(y+2)2=28+4y+y2. |AB|2=()2=. 當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí).cosA=<0. 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2.即. 即y>時(shí).∠CAB為鈍角. 當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2.即. 即y<-時(shí).∠CBA為鈍角. 又|AB|2>|AC|2+|BC|2.即. 即. 該不等式無解.所以∠ACB不可能為鈍角. 因此.當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí).點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是. 解法二:以AB為直徑的圓的方程為(x-)2+(y+)2=()2. 圓心()到直線l:x=-1的距離為. 所以.以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G(-1.-). 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí).∠ACB為直角.當(dāng)C與G點(diǎn)不重合.且A.B.C三點(diǎn)不共線時(shí).∠ACB為銳角.即△ABC中.∠ACB不可能是鈍角. 因此.要使△ABC為鈍角三角形.只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角. 過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為. 令x=-1得y=. 過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2(x-3). 令x=-1得y=-. 又由解得y=2. 所以.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1.2)時(shí).A.B.C三點(diǎn)共線.不構(gòu)成三角形. 因此.當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí).點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<-或y>(y≠2). 點(diǎn)評(píng):該題全面綜合了解析幾何.平面幾何.代數(shù)的相關(guān)知識(shí).充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系 .題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗.能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用.以及分類討論的思想.方程的思想.該題對(duì)思維的目的性.邏輯性.周密性.靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算.化簡能力要求也較高.有較好的區(qū)分度. 題型4:圓的方程例7．(1)已知△ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4.1).B.C.求△ABC外接圓的方程. 分析:如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入.即可確定出三個(gè)獨(dú)立參數(shù)a.b.r.寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,如果注意到△ABC外接圓的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn).由此可求圓心坐標(biāo)和半徑.也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解法一:設(shè)所求圓的方程是 ① 因?yàn)锳(4.1).B.C都在圓上. 所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①.于是可解得所以△ABC的外接圓的方程是. 解法二:因?yàn)椤鰽BC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上.也在BC的垂直平分線上.所以先求AB.BC的垂直平分線方程.求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo). ∵..線段AB的中點(diǎn)為.線段BC的中點(diǎn)為. 圖4-1 ∴AB的垂直平分線方程為. ① BC的垂直平分線方程 ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 ∴△ABC外接圓的圓心為E. 半徑. 故△ABC外接圓的方程是．點(diǎn)評(píng):解法一用的是“待定系數(shù)法 .解法二利用了圓的幾何性質(zhì). (2)求過A(4.1).B.C三點(diǎn)的圓的方程.并求這個(gè)圓的半徑長和圓心坐標(biāo). 分析:細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn).本題與上節(jié)例1是相同的.在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解.可以比較一下哪種方法簡捷. 解析:設(shè)圓的方程為 ① 因?yàn)槿c(diǎn)A(4.1).B.C都在圓上.所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解.將它們的坐標(biāo)分別代入方程①.得到關(guān)于D.E.F的一個(gè)三元一次方程組: .解得. 所以.圓的方程是. 圓心是坐標(biāo).半徑為. 點(diǎn)評(píng):“待定系數(shù)法是求圓的方程的常用方法．一般地.在選用圓的方程形式時(shí).若問題涉及圓心和半徑.則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便.否則選用一般方程方便些. 例8．若方程. (1)當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi).該方程表示一個(gè)圓. (2)當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時(shí).求圓心的軌跡方程. 解析:(1)由. . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí). 即時(shí).給定的方程表示一個(gè)圓. (2)設(shè)圓心坐標(biāo)為.則(為參數(shù)). 消去參數(shù).為所求圓心軌跡方程. 點(diǎn)評(píng):圓的一般方程.圓心為點(diǎn).半徑.其中. 題型5:圓的綜合問題例9．如圖2.在平面直角坐標(biāo)系中.給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A(0.a).B(0.b)().試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C.使∠ACB取得最大值. 解析:設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn).在△ABC中由正弦定理.有 . 其中R是△ABC的外接圓的半徑. 可見.當(dāng)R取得最小值時(shí).∠ACB取得最大值. 在過A.B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是圓與x軸的切點(diǎn)時(shí).半徑最小.故切點(diǎn)C即為所求. 由切割線定理.得: 所以 .即點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí).∠ACB取得最大值. 點(diǎn)評(píng):圓是最簡單的二次曲線.它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用.對(duì)一些數(shù)學(xué)問題.若能作一個(gè)輔助圓.可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系.從而使問題得解.起到鋪路搭橋的作用. 例10．已知⊙O′過定點(diǎn)A.圓心O′在拋物線x2=2py上運(yùn)動(dòng).MN為圓O′截x軸所得的弦.令|AM|=d1.|AN|=d2.∠MAN=θ. (1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí).|MN|是否有變化?并證明你的結(jié)論, (2)求+的最大值.并求取得最大值的θ值. 解析:設(shè)O′(x0.y0).則x02=2py0 (y0≥0).⊙O′的半徑|O′A|=.⊙O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.令y=0.并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0.解得xM=x0 – p.xN=x0+p.∴|MN|=| xN – xM|=2p為定值. (2)∵M(jìn)(x0-p.0) .N(x0+p.0) ∴d1=.d2=.則d12+d22=4p2+2x02.d1d2=. ∴+===2=2≤2=2. 當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2.即x=±p.y0=p時(shí)等號(hào)成立.∴+的最大值為2. 此時(shí)|O′B|=|MB|=|NB|(B為MN中點(diǎn)).又O′M=O′N. ∴△O′MN為等腰直角三角形.∠MO′N=90°.則θ=∠MO′N=45°. 點(diǎn)評(píng):數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想.又是數(shù)學(xué)研究的常用方法. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知直線xsinα+ycosα+1=0（a∈R），給出下列四個(gè)命題：
（1）直線的傾斜角是π-α；
（2）無論a如何變化，直線不過原點(diǎn)；
（3）無論a如何變化，直線總和一個(gè)定圓相切；
（4）當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1；
其中正確命題的序號(hào)是

（2）（3）（4）

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)全填上）

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(本題滿分10分)設(shè)圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過點(diǎn)的直線。