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題型1:直線與橢圓的位置關(guān)系 例1．已知橢圓:.過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A.B兩點(diǎn).求弦AB的長. 解析:a=3,b=1,c=2.則F(-2.0). 由題意知:與聯(lián)立消去y得:. 設(shè)A(.B(.則是上面方程的二實(shí)根.由違達(dá)定理...又因?yàn)锳.B.F都是直線上的點(diǎn). 所以|AB|= 點(diǎn)評(píng):也可讓學(xué)生利用“焦半徑 公式計(jì)算. 例2．中心在原點(diǎn).一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0.)的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為.求橢圓的方程. 解析:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由F1(0.)得 把直線方程代入橢圓方程整理得:. 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為.則由根與系數(shù)的關(guān)系得: .又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為. .與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為:. 點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意.可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.與直線方程聯(lián)立解方程組.利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo).再由F1(0.)知.c=..最后解關(guān)于a.b的方程組即可. 例3．直線與曲線 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) 2 4 解析:將代入得:. .顯然該關(guān)于的方程有兩正解.即x有四解.所以交點(diǎn)有4個(gè).故選擇答案D. 點(diǎn)評(píng):本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧.同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡單的考查. 例4．已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(.0)和F2(2.0).長軸長為6.設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A.B兩點(diǎn).求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo). 解析:設(shè)橢圓C的方程為. 由題意a=3.c=2.于是b=1. ∴橢圓C的方程為+y2＝1． 由得10x2+36x+27＝0. 因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式Δ＞0.所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 設(shè)A(x1.y1).B(x2.y2). 則x1+x2＝. 故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()． 點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程.直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 題型2:直線與雙曲線的位置關(guān)系 例5．(1)過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條.分別求出它們的方程. (2)直線與雙曲線相交于A.B兩點(diǎn).當(dāng)為何值時(shí).A.B在雙曲線的同一支上?當(dāng)為何值時(shí).A.B分別在雙曲線的兩支上? 解析:(1)解:若直線的斜率不存在時(shí).則.此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn).滿足條件, 若直線的斜率存在時(shí).設(shè)直線的方程為則. . ∴. . 當(dāng)時(shí).方程無解.不滿足條件, 當(dāng)時(shí).方程有一解.滿足條件, 當(dāng)時(shí).令. 化簡得:無解.所以不滿足條件, 所以滿足條件的直線有兩條和. (2)把代入整理得:--(1) 當(dāng)時(shí).. 由>0得且時(shí).方程組有兩解.直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn). 若A.B在雙曲線的同一支.須>0 .所以或. 故當(dāng)或時(shí).A.B兩點(diǎn)在同一支上,當(dāng)時(shí).A.B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上. 點(diǎn)評(píng):與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種.一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線.另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條. 例5．(1)求直線被雙曲線截得的弦長, (2)求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程. 解析:由得得(*) 設(shè)方程(*)的解為.則有 得. (2)方法一:若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn).則設(shè)直線的方程為.它被雙曲線截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為. 由得(*) 設(shè)方程(*)的解為.則. ∴. 且. ∴. 得或. 方法二:設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為.弦中點(diǎn)為.則 得:. ∴. 即. 即 點(diǎn)評(píng):(1)弦長公式,(2)有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法. 例7．過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線.且與雙曲線的兩支相交.求該雙曲線離心率的范圍. 解析:設(shè)雙曲線的方程為..漸近線.則過的直線方程為.則. 代入得. ∴即得. ∴.即得到. 點(diǎn)評(píng):直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系.取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系. 題型3:直線與拋物線的位置關(guān)系 例8．已知拋物線方程為.直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3.求p的值. 解析:設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB|== 由 從而由于p>0.解得 點(diǎn)評(píng):方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交,有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切,無實(shí)數(shù)解則相離. 例9．2003上海春.4)直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 . 答案:(3.2) 解法一:設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x1.y1),B(x2.y2),其中點(diǎn)為P(x0.y0). 由題意得.(x-1)2=4x.x2-6x+1=0. ∴x0==3.y0=x0-1=2.∴P(3.2). 解法二:y22=4x2.y12=4x1.y22-y12=4x2-4x1. =4.∴y1+y2=4.即y0=2.x0=y0+1=3. 故中點(diǎn)為P(3.2). 點(diǎn)評(píng):本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法. 例10．拋物線方程為y2=p(x+1)(p＞0).直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊. (1)求證:直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn), (2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q.R.OQ⊥OR.求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式, 的條件下.若拋物線焦點(diǎn)F到直線x+y=m的距離為.求此直線的方程, 的條件下.若m變化.使得原點(diǎn)O到直線QR的距離不大于.求p的值的范圍. 解:(1)拋物線y2=p(x+1)的準(zhǔn)線方程是x=-1-.直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)為(m.0).由題設(shè)交點(diǎn)在準(zhǔn)線右邊.得m＞-1-.即4m+p+4＞0. 由 得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0. 而判別式Δ=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4). 又p＞0及4m+p+4＞0.可知Δ＞0. 因此.直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn), (2)設(shè)Q.R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1.y1).(x2.y2).由(1)知.x1.x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的兩根. ∴x1+x2=2m+p.x1·x2=m2-p. 由OQ⊥OR.得kOQ·kOR=-1. 即有x1x2+y1y2=0. 又Q.R為直線x+y=m上的點(diǎn). 因而y1=-x1+m.y2=-x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0. ∴p=f(m)=. 由得m＞-2.m≠0, 由于拋物線y2=p(x+1)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(-1+.0).于是有 .即|p-4m-4|=4. 又p= ∴||=4. 解得m1=0.m2=-.m3=-4.m4=-. 但m≠0且m＞-2.因而舍去m1.m2.m3.故所求直線方程為3x+3y+4=0. (理)解法一:由于原點(diǎn)O到直線x+y=m的距離不大于.于是 .∴|m|≤1. 由(2).知m＞-2且m≠0. 故m∈［-1.0)∪(0.1］. 由(2).知f(m)==(m+2)+-4. 當(dāng)m∈［-1.0)時(shí).任取m1.m2.0＞m1＞m2≥-1.則 f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+() =(m1-m2)［1-］. 由0＞m1＞m2≥-1.知0＜(m1+2)(m2+2)＜4.1-＜0. 又由m1-m2＞0知f(m1)＜f(m2)因而f(m)為減函數(shù). 可見.當(dāng)m∈［-1.0)時(shí).p∈(0.1］. 同樣可證.當(dāng)m∈(0.1］時(shí).f(m)為增函數(shù).從而p∈(0.］. 解法二:由解法一知.m∈［-1.0)∪知 p=f(m)=. 設(shè)t=.g(t)=t+2t2.則t∈.又 g(t)=2t2+t=2(t+)2-. ∴當(dāng)t∈(-∞.-1］時(shí).g(t)為減函數(shù).g(t)∈［1.+∞). 當(dāng)t∈［1.+∞)時(shí).g(t)為增函數(shù).g(t)∈［3.+∞). 因此.當(dāng)m∈［-1.0］時(shí).t∈(-∞.-1］.p=∈(0.1］, 當(dāng)m∈(0.1］時(shí).t∈［1.+∞).p∈(0.］. 點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的性質(zhì)與方程.拋物線與直線的位置關(guān)系.點(diǎn)到直線的距離.函數(shù)與不等式的知識(shí).以及解決綜合問題的能力. 例11．已知拋物線y2=4x.過點(diǎn)P(4.0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).則y12+y22的最小值是 . 解析:顯然³0.又＝4()³8.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以所求的值為32. 點(diǎn)評(píng):該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題.結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過F1作傾斜角為45°的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若MF2垂直于x軸，則橢圓的離心率為
2
-1
2
-1
．

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我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題．
（1）設(shè)F1、F2是橢圓M：
x2
25
+
y2
9
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線L：
2
x-y+
5
=0的距離分別為d1、d2，試求d1•d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系．
（2）設(shè)F1、F2是橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線L：mx+ny+p=0（m、n不同時(shí)為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1•d2的值．
（3）試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明．
（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請(qǐng)同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）．

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我們知道，直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面的問題．
（1）設(shè)F1、F2是橢圓M：
x2
25
+
y2
9
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線l：
2
x-y+
5
=0的距離分別為d1、d2，試求d1•d2的值，并判斷直線l與橢圓M的位置關(guān)系．
（2）設(shè)F1、F2是橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時(shí)為零）的距離分別為d1、d2，且直線l與橢圓M相切，試求d1•d2的值．
（3）試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的相交、相離位置關(guān)系的充要條件（不必證明）．

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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F2作傾斜角為120°的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M若MF1垂直于x軸，則橢圓的離心率為
 
．

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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F2作傾斜角為120°的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若MF1垂直于x軸，則橢圓的離心率為（　�。�

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