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題型1:空間向量的概念及性質例1．有以下命題:①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底.那么的關系是不共線,②為空間四點.且向量不構成空間的一個基底.那么點一定共面,③已知向量是空間的一個基底.則向量.也是空間的一個基底.其中正確的命題是 ①② ①③ ②③ ①②③ 解析:對于①“如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底.那么的關系一定共線 ,所以①錯誤.②③正確. 點評:該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件.為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系. 例2．下列命題正確的是若與共線.與共線.則與共線, 向量共面就是它們所在的直線共面, 零向量沒有確定的方向, 若.則存在唯一的實數(shù)使得, 解析:A中向量為零向量時要注意.B中向量的共線.共面與直線的共線.共面不一樣.D中需保證不為零向量. 答案C. 點評:零向量是一個特殊的向量.時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處.像零向量與任何向量共線等性質.要兼顧. 題型2:空間向量的基本運算例3．如圖:在平行六面體中.為與的交點.若...則下列向量中與相等的向量是( ) 解析:顯然, 答案為A. 點評:類比平面向量表達平面位置關系過程.掌握好空間向量的用途.用向量的方法處理立體幾何問題.使復雜的線面空間關系代數(shù)化.本題考查的是基本的向量相等.與向量的加法.考查學生的空間想象能力. 例4．已知:且不共面.若∥,求的值. 解:∥,,且即又不共面, 點評:空間向量在運算時.注意到如何實施空間向量共線定理. 題型3:空間向量的坐標例5．(1)已知兩個非零向量=(a1.a2.a3).=(b1.b2.b3).它們平行的充要條件是( ) A. :||=:|| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實數(shù)k.使=k (2)已知向量=.=.若||=6.⊥.則x+y的值是( ) A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1 (3)下列各組向量共面的是( ) A. =.=.= B. =.=.= C. =.=.= D. =.=.= 解析:(1)D,點撥:由共線向量定線易知, (2)A 點撥:由題知或, (3)A 點撥:由共面向量基本定理可得. 點評:空間向量的坐標運算除了數(shù)量積外就是考察共線.垂直時參數(shù)的取值情況. 例6．已知空間三點A.C.設=.=.(1)求和的夾角,(2)若向量k+與k-2互相垂直.求k的值. 思維入門指導:本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用.套用公式即可得到所要求的結果. 解:∵A.C.=.=. ∴=.=. (1)cos==-. ∴和的夾角為-. (2)∵k+=k＝. k-2=.且(k+)⊥(k-2). ∴=+k2-8=2k2+k-10=0. 則k=-或k=2. 點撥:第(2)問在解答時也可以按運算律做.(+)(k-2)=k22-k·-22=2k2+k-10=0.解得k=-.或k=2. 題型4:數(shù)量積例7．(2000江西.山西.天津理.4)設..c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(·)-(·)不與垂直 ④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中.是真命題的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案:D 解析:①平面向量的數(shù)量積不滿足結合律.故①假, ②由向量的減法運算可知||.||.|-|恰為一個三角形的三條邊長.由“兩邊之差小于第三邊 .故②真, ③因為［(·)-(·)］·=(·)·-(·)·=0.所以垂直.故③假, ④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立.故④真. 點評:本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律. 例8．已知向量和的夾角為120°.且||=2.||=5.則(2-)·= . (2)設空間兩個不同的單位向量=(x1.y1.0).=(x2.y2.0)與向量=的夾角都等于.(1)求x1+y1和x1y1的值,(2)求<.>的大小(其中0＜<.>＜π. 解析:(1)答案:13,解析:∵(2-)·=22-·=2||2-||·||·cos120°=2·4-2·5(-)=13. ∵||=||=1.∴x+y=1.∴x=y=1. 又∵與的夾角為.∴·=||||cos==. 又∵·=x1+y1.∴x1+y1=. 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1.∴2x1y1=()2-1=.∴x1y1=. (2)cos<.>==x1x2+y1y2.由(1)知.x1+y1=.x1y1=.∴x1.y1是方程x2-x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠.∴或 ∴cos<.>=·+·=+=. ∵0≤<.>≤π.∴<.>=. 評述:本題考查向量數(shù)量積的運算法則. 題型5:空間向量的應用例9．(1)已知a.b.c為正數(shù).且a+b+c=1.求證:++≤4. (2)已知F1=i+2j+3k.F2=-2i+3j-k.F3=3i-4j+5k.若F1.F2.F3共同作用于同一物體上.使物體從點M1移到點M2.求物體合力做的功. 解析:(1)設=(..).=. 則||=4.||=. ∵·≤||·||. ∴·=++≤||·||=4. 當==時.即a=b=c=時.取“= 號. (2)解:W=F·s=(F1+F2+F3)·=14. 點評:若=.=.則由·≤||·||.得2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3).本題考查||·||≥·的應用.解題時要先根據(jù)題設條件構造向量..然后結合數(shù)量積性質進行運算.空間向量的數(shù)量積對應做功問題. 例10．如圖,直三棱柱中,求證: 證明: 同理又設為中點,則又點評:從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關系問題.要用到空間多邊形法則.向量的運算.數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

設{

，

}是空間向量的一個單位正交基底，

-4

，