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題型1:計數(shù)原理 例1．完成下列選擇題與填空題 (1)有三個不同的信箱.今有四封不同的信欲投其中.則不同的投法有 種. A．81 B．64 C．24 D．4 (2)四名學(xué)生爭奪三項冠軍.獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) A．81 B．64 C．24 D．4 (3)有四位學(xué)生參加三項不同的競賽. ①每位學(xué)生必須參加一項競賽.則有不同的參賽方法有 , ②每項競賽只許有一位學(xué)生參加.則有不同的參賽方法有 , ③每位學(xué)生最多參加一項競賽.每項競賽只許有一位學(xué)生參加.則不同的參賽方法有 . 解析:(1)完成一件事是“分步 進行還是“分類 進行.是選用基本原理的關(guān)鍵.將“投四封信 這件事分四步完成.每投一封信作為一步.每步都有投入三個不同信箱的三種方法.因此:N=3×3×3×3=34=81.故答案選A. 本題也可以這樣分類完成.①四封信投入一個信箱中.有C31種投法,②四封信投入兩個信箱中.有C32(C41·A22+C42·C22)種投法,③四封信投入三個信箱.有兩封信在同一信箱中.有C42·A33種投法..故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(種).故選A. (2)因?qū)W生可同時奪得n項冠軍.故學(xué)生可重復(fù)排列.將4名學(xué)生看作4個“店 .3項冠軍看作“客 .每個“客 都可住進4家“店 中的任意一家.即每個“客 有4種住宿法.由分步計數(shù)原理得:N=4×4×4=64. 故答案選B. (3)①學(xué)生可以選擇項目.而競賽項目對學(xué)生無條件限制.所以類似(1)可得N=34=81(種), ②競賽項目可以挑學(xué)生.而學(xué)生無選擇項目的機會.每一項可以挑4種不同學(xué)生.共有N=43=64(種), ③等價于從4個學(xué)生中挑選3個學(xué)生去參加三個項目的競賽.每人參加一項.故共有C43·A33=24(種). 例2．今有2個紅球.3個黃球.4個白球.同色球不加以區(qū)分.將這9個球排成一列有 種不同的方法. 解析:本題考查排列組合的基本知識.由題意可知.因同色球不加以區(qū)分.實際上是一個組合問題.共有. 點評:分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段.也是基礎(chǔ)方法.在高中數(shù)學(xué)中.只有這兩個原理.尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處.當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時.用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的. 題型2:排列問題 例3．在這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中.各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( ) 24個 6個 從4名男生和3名女生中選出3人.分別從事三項不同的工作.若這3人中至少有1名女生.則選派方案共有( ) 186種 270種 在數(shù)字1,2.3與符號+.-五個元素的所有全排列中.任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是( ) A．6 B. 12 C. 18 D. 24 班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目.2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序.要求兩個舞蹈節(jié)目不連排.則不同排法的種數(shù)是( ) 3600 5040 解析:(1)依題意.所選的三位數(shù)字有兩種情況:(1)3個數(shù)字都是奇數(shù).有種方法(2)3個數(shù)字中有一個是奇數(shù).有.故共有+＝24種方法.故選B, (2)從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù).合理的選派方案共有=186種.選B, (3)先排列1.2.3.有種排法.再將“+ .“- 兩個符號插入.有種方法.共有12種方法.選B, (4)不同排法的種數(shù)為＝3600.故選B. 點評:合理的應(yīng)用排列的公式處理實際問題.首先應(yīng)該進入排列問題的情景.想清楚我處理時應(yīng)該如何去做. 例4．用數(shù)字0.1.2.3.4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).則其中數(shù)字1.2相鄰的偶數(shù)有 個, 電視臺連續(xù)播放6個廣告.其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告.要求首尾必須播放公益廣告.則共有 種不同的播放方式. 解析:(1)可以分情況討論:① 若末位數(shù)字為0.則1.2.為一組.且可以交換位置.3.4.各為1個數(shù)字.共可以組成個五位數(shù),② 若末位數(shù)字為2.則1與它相鄰.其余3個數(shù)字排列.且0不是首位數(shù)字.則有個五位數(shù),③ 若末位數(shù)字為4.則1.2.為一組.且可以交換位置.3.0.各為1個數(shù)字.且0不是首位數(shù)字.則有=8個五位數(shù).所以全部合理的五位數(shù)共有24個. (2)分二步:首尾必須播放公益廣告的有A22種,中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種.從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44＝48. 從而應(yīng)填48. 點評:排列問題不可能解決所有問題.對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助. 題型三:組合問題 例5．將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí).每班至少1名.最多2名.則不同的分配方案有( ) 90種 270種 將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里.使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號.則不同的放球方法有( ) A．10種 B．20種 C．36種 D．52種 解析:(1)將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí).每班至少1名.最多2名.則將5名教師分成三組.一組1人.另兩組都是2人.有種方法.再將3組分到3個班.共有種不同的分配方案.選B, (2)將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里.使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號.分情況討論:①1號盒子中放1個球.其余3個放入2號盒子.有種方法,②1號盒子中放2個球.其余2個放入2號盒子.有種方法,則不同的放球方法有10種.選A. 點評:計數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ).應(yīng)用計數(shù)原理結(jié)合 例6．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教.其中甲和乙不同去.則不同的選派方案共有 種, 5名志愿者分到3所學(xué)校支教.每個學(xué)校至少去一名志愿者.則不同的分派方法共有( ) (A)150種 200種 (D)280種 解析:(1)可以分情況討論.① 甲去.則乙不去.有=480種選法,②甲不去.乙去.有=480種選法,③甲.乙都不去.有=360種選法,共有1320種不同的選派方案, (2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式.若是1,2,2.則有＝60種.若是1,1,3.則有＝90種.所以共有150種.選A. 點評:排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題.諸如分組問題等, 題型4:排列.組合的綜合問題 例7．平面上給定10個點.任意三點不共線.由這10個點確定的直線中.無三條直線交于同一點.無兩條直線互相平行.求:(1)這些直線所交成的點的個數(shù)這些直線交成多少個三角形. 解法一:(1)由題設(shè)這10點所確定的直線是C102=45條. 這45條直線除原10點外無三條直線交于同一點.由任意兩條直線交一個點.共有C452個交點.而在原來10點上有9條直線共點于此.所以.在原來點上有10C92點被重復(fù)計數(shù), 所以這些直線交成新的點是:C452-10C92=630. (2)這些直線所交成的三角形個數(shù)可如下求:因為每個三角形對應(yīng)著三個頂點.這三個點來自上述630個點或原來的10個點.所以三角形的個數(shù)相當(dāng)于從這640個點中任取三個點的組合.即C6403=43486080(個). 解法二:(1)如圖對給定的10點中任取4個點.四點連成6條直線.這6條直線交3個新的點.故原題對應(yīng)于在10個點中任取4點的不同取法的3倍.即這些直線新交成的點的個數(shù)是:3C104=630. (2)同解法一. 點評:用排列.組合解決有關(guān)幾何計算問題.除了應(yīng)用排列.組合的各種方法與對策之外.還要考慮實際幾何意義. 例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素.并且該直線的傾斜角為銳角.求符合這些條件的直線的條數(shù). 解 設(shè)傾斜角為θ.由θ為銳角.得tanθ=->0,即a.b異號. (1)若c=0.a.b各有3種取法.排除2個重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0).故有3×3-2=7(條), (2)若c≠0.a有3種取法.b有3種取法.而同時c還有4種取法.且其中任兩條直線均不相同.故這樣的直線有3×3×4=36條.從而符合要求的直線共有7+36=43條, 點評:本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題.據(jù)抽樣分析正確率只有0.37.錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類,沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線. 題型5:二項式定理 例9．在的展開式中.的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有 A．3項 B．4項 C．5項 D．6項 (2)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是 4 (D)6 解析:本題主要考查二項式展開通項公式的有關(guān)知識, (1).當(dāng)r＝0.3.6.9.12.15.18.21.24時.x的指數(shù)分別是24.20.16.12.8.4.0.-4.-8.其中16.8.4.0.-8均為2的整數(shù)次冪.故選C, (2)的展開式通項為.因此含x的正整數(shù)次冪的項共有2項.選B, 點評:多項式乘法的進位規(guī)則.在求系數(shù)過程中,盡量先化簡.降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算.在運算過程可以適當(dāng)注意令值法的運用.例如求常數(shù)項.可令.在二項式的展開式中.要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別. 例10．在(x-)2006 的二項展開式中.含x的奇次冪的項之和為S.當(dāng)x＝時.S等于( ) A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009 已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為-,其中=-1.則展開式中常數(shù)項是( ) (A)-45i (B) 45i 45 若多項式 ( ) 10 -10 解析:(1)設(shè)(x-)2006＝a0x2006+a1x2005+-+a2005x+a2006, 則當(dāng)x＝時.有a0()2006+a1()2005+-+a2005()+a2006＝0 (1). 當(dāng)x＝-時.有a0()2006-a1()2005+--a2005()+a2006＝23009 (2). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

15、已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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解下列各題，需要用分類加法計數(shù)原理的是

[　　]
A．

M和N都是有限集合，求M∪N元素的個數(shù)

B．

有4個小組，人數(shù)分別為12，12，10，10，從中選1人參加作文比賽，求不同的選法

C．

有4個小組，人數(shù)分別為12，12，10，10，每小組選派1人參加座談會，求不同的選法

D．

已知x∈{1，2，3}，y∈{2，3，4}，計算M(x，y)能表示多少個不同的點

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