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題型1:線性相關(guān)性檢驗(yàn) 例1．一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y與該月產(chǎn)量x之間由如下一組數(shù)據(jù): x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 1)畫出散點(diǎn)圖,2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平,3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程. 解析: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 =.==2.8475.=29.808.=99.2081.=54.243 1)畫出散點(diǎn)圖: 2) r= = 在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表 查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0.05=0.576<0.997891, 這說明每月產(chǎn)品的總成本y與該月產(chǎn)量x之間存在線性相關(guān)關(guān)系. 3)設(shè)回歸直線方程. 利用 . 計(jì)算a.b.得b≈1.215, a=≈0.974. ∴回歸直線方程為: 例2．在7塊并排.形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn).得數(shù)據(jù)如下 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 1)畫出散點(diǎn)圖,2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平,3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程. 解析:1)畫出散點(diǎn)圖如下: 2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平: i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6950 9125 12150 15575 18000 20475 =30,=399.3,=7000,=1132725,=87175 r==≈0.9733.在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表 查出與顯著性水平0.05及自由度7-2=5相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0.05=0.754＜0.9733.這說明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在線性相關(guān)關(guān)系. 3)設(shè)回歸直線方程.利用 計(jì)算a.b. 得b= a=399.3-4.75×30≈257.則回歸直線方程 題型2:獨(dú)立性檢驗(yàn) 例3．為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān).調(diào)查了339名50歲以上的人.調(diào)查結(jié)果如下表所示: 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 合計(jì) 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 合計(jì) 56 283 339 試問:50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎? 解析:由公式.因?yàn)?.469>6.635,所以我們有99%的把握說:50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān). 例4．對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究.調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病.調(diào)查結(jié)果如下表所示: 又發(fā)作過心臟病 未發(fā)作過心臟病 合計(jì) 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計(jì) 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別. 解析:由公式.因?yàn)?.78>3.841.所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù) 與“又發(fā)作過心臟病 有關(guān).可以認(rèn)為病人又發(fā)作與否與其做過任何手術(shù)無關(guān). 題型3:獨(dú)立的概念及應(yīng)用 例5．有三種產(chǎn)品,合格率分別是0.90,0.95和0.95.各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn). (1)求恰有一件不合格的概率, (2)求至少有兩件不合格的概率, 解析:設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件.抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A.B和C. =0.95.則P()=0.10,P()=P()=0.05. 因?yàn)槭录嗀.B.C相互獨(dú)立.恰有一件不合格的概率為: P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C) =P·P()+P(A)·P()·P(C)+P()·P =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 答:恰有一件不合格的概率為0.176. (2)解法一:至少有兩件不合格的概率為: P(A··)+P(·B·)+P(··C)+P(··) =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05≈0.012. 答:至少有兩件不合格的概率為0.012. 解法二:三件產(chǎn)品都合格的概率為: P·P(C)=0.90×0.95×0.95≈0.812. 由(1)知.恰有一件不合格的概率為0.176.所以.至少有兩件不合格的概率為1-[P+0.176]=1-=0.012. 答:至少有兩件不合格的概率為0.012. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 例6．某公司招聘員工.指定三門考試課程.有兩種考試方案. 方案一:考試三門課程.至少有兩門及格為考試通過, 方案二:在三門課程中.隨機(jī)選取兩門.這兩門都及格為考試通過. 假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是.且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響. (Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率, (Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小. 解析:設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A.B.C.相應(yīng)的概率為a.b.c (1)考試三門課程.至少有兩門及格的事件可表示為AB+AC+BC+ABC.設(shè)其概率為P1.則P1＝abbc+abc＝ab+ac+bc-2abc 設(shè)在三門課程中.隨機(jī)選取兩門.這兩門都及格的概率為P2.則P2＝ab+ac+bc (2)P1-P2＝-(ab+ac+bc)＝ab+ac+bc-2abc＝＝+bc>0 \P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率. 點(diǎn)評(píng):“至少.至多 問題的處理方式是分類到底.利用獨(dú)立.互斥或?qū)α⑹录M(jìn)行轉(zhuǎn)化. 題型4:隨機(jī)變量的分布列 例7．．某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下: 6 7 8 9 10 0 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊.以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績.記為. (I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率 (II)求的分布列 解析:(Ⅰ)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率為, (Ⅱ)的可能取值為7.8.9.10 , . . . 分布列為: 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的數(shù)學(xué)希望為. 點(diǎn)評(píng):分布列不僅明確給出了()的概率.而且對(duì)任事件()發(fā)生的概率均可由分布列算出: . 例8．設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整后出現(xiàn)廢品的概率為0.1.而且一旦出現(xiàn)廢品就要重新調(diào)整.求在兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品的數(shù)目不小于5的概率. 分析:如果用隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù).而且我們知道一旦出現(xiàn)廢品就重新調(diào)整生產(chǎn)線.所以兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品是連續(xù)出現(xiàn)的.那么隨機(jī)變量η的取值就服從幾何分布.我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)先求出η的分布列.然后再計(jì)算事件“合格品數(shù)不小于5 即{η>5}的概率. 解析:設(shè)隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù).則η服從幾何分布.事件{η＝k}就表示生產(chǎn)了k-1件合格品.且第k件產(chǎn)品是廢品.容易求得: P＝0.1. P×0.1＝0.09. 寫成分布列的形式為: 1 2 3 4 5 6 - P 0.1 0.09 0.81 0.0729 0.06561 0.059049 - 題目中要求計(jì)算“所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5 的概率.即P.因?yàn)槭录䓖η>5}所包含的基本事件為{η＝6}.{η＝7}.-.{η＝n}.-.所以有 P+P+- 我們應(yīng)用分布列的性質(zhì)計(jì)算上式的值．因?yàn)镻.所以 P＝1-［P+P+P］ ＝1-(0.1+0.09+0.081+0.0729+0.06561)＝0.49049. 所以事件“兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5 的概率為0.49049 點(diǎn)評(píng):這是一道綜合例題.包括了分列的計(jì)算及分布列的應(yīng)用兩個(gè)步驟.該題對(duì)于我們鞏固所學(xué)知識(shí).深入了解分布列有很大幫助. 題型5:隨機(jī)變量的均值 例9．一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中.三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0.兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次, 則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是 , 利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策.應(yīng)選擇的方案是 . 解析:(1)一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中.三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0.兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1.一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次.向上的數(shù)之積可能為ξ=0.1.2.4. 則. . . . ∴ . 點(diǎn)評(píng):掌握離散性隨機(jī)變量均值的計(jì)算方法.以及計(jì)算的先后順序. (2)答案:A3 解析:A1的數(shù)學(xué)期望:=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 A2的數(shù)學(xué)期望:=0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 A3的數(shù)學(xué)期望:=0.25×(-20)+0.30×52+0.45×78=45.7 A4的數(shù)學(xué)期望:=0.25×98+0.30×82+0.45×(-10)=44.6 點(diǎn)評(píng):本題考查概率與數(shù)學(xué)期望.考查學(xué)生識(shí)表的能力.對(duì)圖表的識(shí)別能力.是近年高考突出考查的熱點(diǎn).圖表語言與其數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換.應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn).應(yīng)引起高度重視. 例10．設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為1.2.3.4.(1.2.3.4).又的數(shù)學(xué)期望.則 ; 解析:設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為.所以.即. 又的數(shù)學(xué)期望.則.即.,∴ . 點(diǎn)評(píng):均值計(jì)算時(shí)要根據(jù)公式進(jìn)行簡化計(jì)算.從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的. 題型6:隨機(jī)變量的方差 例11．甲.乙兩名工人加工同一種零件.兩人每天加工的零件數(shù)相等.所得次品數(shù)分別為ε.η.ε和η的分布列如下: ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較. 分析:一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值.即期望,二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況.即方差值的大小. 解析:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為: . , 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為: . , 由Eε=Eη知.兩人出次品的平均數(shù)相同.技術(shù)水平相當(dāng).但Dε>Dη.可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定. 點(diǎn)評(píng):期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小.但有時(shí)僅知道均值的大小還不夠.如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等.還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化.即計(jì)算方差.方差大說明隨機(jī)變量取值較分散.方差小說明取值分散性小或者取值比較集中.穩(wěn)定. 題型7:正態(tài)分布 例12．在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中.全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布.已知成績?cè)?0分以上的學(xué)生有12名. (Ⅰ).試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人? (Ⅱ).若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競賽成績排在前50名的學(xué)生.試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分? 可共查閱的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 解析:(Ⅰ)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為.因?yàn)?N.由條件知. P(≥90)＝1-P(<90)＝1-F(90)＝1-＝1-(2)＝1-0.9772＝0.228. 這說明成績?cè)?0分以上的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%.因此. 參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人). (Ⅱ)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分.則P(≥x)＝1-P(<x)＝1-F(90)＝1-＝＝0.0951.即＝0.9049.查表得≈1.31.解得x＝83.1. 故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查正態(tài)分布.對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱.考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所需要的維修費(fèi)用y （萬元）的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷y與x之間是否有較強(qiáng)線性相關(guān)性，若有求線性回歸直線方程
y
=
b
x+
a
；
（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？

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下列四個(gè)命題正確的是
（2）
（2）

（1）線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)性越弱
（2）殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
（3）用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模擬效果越好
（4）實(shí)數(shù)a，b滿足(
1
2
)a=(
1
3
)b，則有a=b或0＜b＜a．

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有5組（x，y）數(shù)據(jù)如下表：
x 1 2 3 4 10
y 2 4 10 8 12
去掉其中一組后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，則應(yīng)去掉的一組數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（　�。�

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在測量一根新彈簧的勁度系數(shù)時(shí)，測得了如下的結(jié)果：
所掛重量（N）（x） 1 2 3 5 7 9
彈簧長度（cm）（y） 11 12 12 13 14 16
（1）請(qǐng)畫出上表所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）彈簧長度與所掛重量之間的關(guān)系是否具有線性相關(guān)性，若具有請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，
求出y關(guān)于x的線性回歸方程
?
y
=bx+a；
（3）根據(jù)回歸方程，求掛重量為8N的物體時(shí)彈簧的長度．所求得的長度是彈簧的實(shí)際長度嗎？為什么？
注：本題中的計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．
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下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①線性回歸直線方程必經(jīng)過點(diǎn)(
.
x
，
.
y
)；
②若隨機(jī)變量X～B(8，
3
5
)，則D(X)=
48
25
；
③線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；
④“可導(dǎo)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是增函數(shù)”是“f'（x）＞0對(duì)x∈（a，b）恒成立”的充要條件．

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