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放縮法一般包括:用縮小分母.擴大分子.分式值增大,縮小分子.擴大分母.分式值縮小,全量不少于部分,每一次縮小其和變小.但需大于所求.第一次擴大其和變大.但需小于所求.即不能放縮不夠或放縮過頭.同時放縮后便于求和． 典型例題十一 例11 已知.求證:． 分析:欲證不等式看起來較為“復(fù)雜 .宜將它化為較“簡單 的形式.因而用分析法證明較好． 證明:欲證. 只須證． 即要證. 即要證． 即要證. 即要證． 即要證.即． 即要證 (*) ∵.∴(*)顯然成立. 故 說明:分析法證明不等式.實質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個充分條件．分析法通常采用“欲證--只要證--即證--已知 的格式． 典型例題十二 例12 如果...求證:． 分析:注意到不等式左邊各字母在項中的分布處于分離狀態(tài).而右邊卻結(jié)合在一起.因而要尋求一個熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能.由.易得.此式的外形特征符合要求.因此.我們用如下的結(jié)合法證明． 證明:∵ ． ∴． 說明:分析時也可以認為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式而得到的．左右兩邊都是三項.實質(zhì)上是公式的連續(xù)使用． 如果原題限定...則不等式可作如下變形:進一步可得到:． 顯然其證明過程仍然可套用原題的思路.但比原題要難.因為發(fā)現(xiàn)思路還要有一個轉(zhuǎn)化的過程． 典型例題十三 例13 已知...求證:在三數(shù)中.不可能都大于． 分析:此命題的形式為否定式.宜采用反證法證明．假設(shè)命題不成立.則三數(shù)都大于.從這個結(jié)論出發(fā).進一步去導(dǎo)出矛盾． 證明:假設(shè)三數(shù)都大于. 即..． 又∵... ∴..． ∴ ① 又∵..． 以上三式相加.即得: ② 顯然①與②相矛盾.假設(shè)不成立.故命題獲證． 說明:一般情況下.如果命題中有“至多 .“至少 .“都 等字樣.通常情況下要用反證法.反證法的關(guān)鍵在于“歸謬 .同時.在反證法的證明過程中.也貫穿了分析法和綜合法的解題思想． 典型例題十四 例14 已知..都是正數(shù).求證:． 分析:用分析法去找一找證題的突破口．要證原不等式.只需證.即只需證．把變?yōu)?問題就解決了．或有分析法的途徑.也很容易用綜合法的形式寫出證明過程． 證法一:要證. 只需證. 即.移項.得． 由..為正數(shù).得． ∴原不等式成立． 證法二:∵..為正數(shù). ． 即.故． . ． 說明:題中給出的....只因為..都是正數(shù).形式同算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣.不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來求證.問題就不好解決了． 原不等式中是用“不大于 連結(jié).應(yīng)該知道取等號的條件.本題當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝ 號．證明不等式不論采用何種方法.僅僅是一個手段或形式問題.我們必須掌握證題的關(guān)鍵．本題的關(guān)鍵是證明． 典型例題十五 例15 已知..且．求證:． 分析:記.欲證.聯(lián)想到正.余弦函數(shù)的值域.本題采用三角換元.借助三角函數(shù)的變換手段將很方便.由條件.可換元.圍繞公式來進行． 證明:令..且. 則 ∵.∴.即成立． 說明:換元的思想隨處可見.這里用的是三角代換法.這種代換如能將其幾何意義挖掘出來.對代換實質(zhì)的認識將會深刻得多.常用的換元法有:(1)若.可設(shè),(2)若.可設(shè)..,(3)若.可設(shè)..且． 典型例題十六 例16 已知是不等于1的正數(shù).是正整數(shù).求證． 分析:從求證的不等式看.左邊是兩項式的積.且各項均為正.右邊有2的因子.因此可考慮使用均值不等式． 證明:∵是不等于1的正數(shù). ∴. ∴． ① 又． ② 將式①.②兩邊分別相乘得 . ∴． 說明:本題看起來很復(fù)雜.但根據(jù)題中特點.選擇綜合法求證非常順利．由特點選方法是解題的關(guān)鍵.這里因為.所以等號不成立.又因為①.②兩個不等式兩邊均為正.所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果．這也是今后解題中要注意的問題． 典型例題十七 例17 已知....且.求證． 分析:從本題結(jié)構(gòu)和特點看.使用比較法和綜合法都難以奏效．為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試.待思路清晰后.再決定證題方法． 證明:要證. 只需證. 只需證． ∵... ∴... ∴. ∴成立． ∴． 說明:此題若一味地用分析法去做.難以得到結(jié)果．在題中得到只需證后.思路已較清晰.這時改用綜合法.是一種好的做法．通過此例可以看出.用分析法尋求不等式的證明途徑時.有時還要與比較法.綜合法等結(jié)合運用.決不可把某種方法看成是孤立的． 典型例題十八 例18 求證． 分析:此題的難度在于.所求證不等式的左端有多項和且難以合并.右邊只有一項．注意到這是一個嚴格不等式.為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律.這只需從下手考查即可． 證明:∵. ∴． 說明:此題證明過程并不復(fù)雜.但思路難尋．本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法.即放縮法．這類題目靈活多樣.需要巧妙變形.問題才能化隱為顯.這里變形的這一步極為關(guān)鍵． 典型例題十九 例19 在中.角..的對邊分別為...若.求證． 分析:因為涉及到三角形的邊角關(guān)系.故可用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化． 證明:∵.∴． 由余弦定理得 ∴. ∴ = 說明:三角形中最常使用的兩個定理就是正弦和余弦定理.另外還有面積公式．本題應(yīng)用知識較為豐富.變形較多．這種綜合.變形能力需要讀者在平時解題時體會和總結(jié).證明不等式的能力和直覺需要長期培養(yǎng)． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

由下列不等式：,你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明．

【解析】根據(jù)觀察得出一般不等式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意放縮法的應(yīng)用.

 

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已知an=
1×2
+
2×3
+
3×4
+…+
n(n+1)
（n∈N*），用放縮法證明：
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．（提示：
n(n+1)
＞n 且
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
）

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（本小題滿分14分，每小題7分)

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，如果，，求的取值范圍．

（Ⅱ）用放縮法證明不等式：

 

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用放縮法證明下列不等式:

(1)若tanθ=ntanφ(tanθ≠0,n＞0),則tan2(θ-φ)≤;

(2)已知a＞0,b＞0,c＞0,d＞0,求證:1＜＜2.

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用放縮法證明：若n∈N，n>2，則logn(n－1)logn(n+1)<1。

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同步練習(xí)冊答案