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[例1] 求下列極限: (1); (2) (-n); (3)(++-+)． 分析:(1)因?yàn)榉肿臃帜付紵o(wú)極限.故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則.可通過(guò)變形分子分母同除以n2后再求極限,(2)因與n都沒(méi)有極限.可先分子有理化再求極限,(3)因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列.需先求和再求極限． 解:(1)==． (2) (-n)= ==． (3)原式===(1+)=1． ◆特別提示::對(duì)于(1)要避免下面兩種錯(cuò)誤:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在.∴原式無(wú)極限．對(duì)于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤: ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在．對(duì)于(3)要避免出現(xiàn)原式=++-+=0+0+-+0=0這樣的錯(cuò)誤． [例2] 已知數(shù)列{an}是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列.a1＝3.且滿足lgan＝lgan-1+lgc.其中n是大于1的整數(shù).c是正數(shù)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n和Sn, (2)求的值． 解:(1)由已知得an＝c·an-1, ∴{an}是以a1＝3.公比為c的等比數(shù)列.則an＝3·cn-1． ∴Sn＝ (2) ＝． ①當(dāng)c=2時(shí).原式＝-; ②當(dāng)c＞2時(shí).原式＝＝-; ③當(dāng)0＜c＜2時(shí).原式=＝． 評(píng)述:求數(shù)列極限時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用． [例3] 已知直線l:x-ny=0(n∈N *),圓M:(x+1)2+(y+1)2=1,拋物線:y=(x-1)2,又l與M交于點(diǎn)A.B.l與交于點(diǎn)C.D.求． 分析:要求的值.必須先求它與n的關(guān)系． 解:設(shè)圓心M到直線l的距離為d,則d2=． 又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=． 設(shè)點(diǎn)C(x1,y1), D(x2,y2). 由nx2-(2n+1)x+n=0, ∴x1+x2=, x1·x2=1． ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=, ∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(4n+1)(n2+1)． ∴===2． 評(píng)述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題．要求極限.需先求,這就要求掌握求弦長(zhǎng)的方法． [例4]若數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,且對(duì)任意n∈N*,an與an+1恰為方程x2-bnx+cn=0的兩根,其中0＜|c|＜1,當(dāng)(b1+b2+-+bn)≤3時(shí),求c的取值范圍． 解:首先,由題意對(duì)任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立． ∴===c．又a1·a2=a2=c． ∴a1,a3,a5,-,a2n-1,-是首項(xiàng)為1,公比為c的等比數(shù)列,a2,a4,a6,-,a2n,-是首項(xiàng)為c,公比為c的等比數(shù)列．其次,由于對(duì)任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立． ∴==c．又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,-,b2n-1,-是首項(xiàng)為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,-,b2n,-是首項(xiàng)為2c,公比為c的等比數(shù)列, ∴ (b1+b2+b3+-+bn) = (b1+b3+b5+-)+ (b2+b4+-) =+≤3． 解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或-1＜c＜0． 故c的取值范圍是∪(0,］． 提煉方法: 本題的解題目標(biāo)是將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式,即將{bn}的各項(xiàng)和表示為關(guān)于c的解析式;關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列特點(diǎn)的分析和運(yùn)用;顯然“起點(diǎn) 應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系． [研討．欣賞]在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí),先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),然后采用如下方法進(jìn)行:從原點(diǎn)出發(fā),在x軸上向正方向前進(jìn)a(a＞0)個(gè)單位后,向左轉(zhuǎn)90°,前進(jìn)a r (0＜r＜1＝個(gè)單位,再向左轉(zhuǎn)90°,又前進(jìn)a r2個(gè)單位,-,如此連續(xù)下去． (1)若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營(yíng)失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同,則大本營(yíng)在何處尋找小分隊(duì)? (2)若其中的r為變量,且0＜r＜1,則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條曲線上? 剖析:(1)小分隊(duì)按原方案走,小分隊(duì)最終應(yīng)在運(yùn)動(dòng)的極限位置． (2)可先求最終目的地關(guān)于r的參數(shù)形式的方程． 解:(1)由已知可知即求這樣運(yùn)動(dòng)的極限點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)的極限位置為Q(x,y),則 x=a-ar2+ar4--==, y=ar-ar3+ar5--=, ∴大本營(yíng)應(yīng)在點(diǎn)(,)附近去尋找小分隊(duì)． (2)由消去r得(x-)2+y2=(其中x＞,y＞0), 即行動(dòng)的最終目的地在以(,0)為圓心,為半徑的圓上． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

求下列極限：
（1）
lim
n→∞
2
n
2
 
+n+7
5n2+7
；
（2）
lim
n→∞
（
n2+n
-n）；
（3）
lim
n→∞
（
2
n2
+
4
n
2
 
+…+
2n
n2
）．

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已知f（x）在x=a處可導(dǎo)，且f′（a）=b，求下列極限：
（1）
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
；
（2）
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
．

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求下列極限：

(1);

(2);

(3);

(4);

(5).

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已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：

　�。�1）；  （2）

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求下列極限：

(1);

(2)(-n);

(3)().

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