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[例1] 已知橢圓的左焦點為F.O為坐標原點. (I)求過點O.F.并且與橢圓的左準線相切的圓的方程, (II)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A.B兩點.線段AB的垂直平分線與軸交于點G.求點G橫坐標的取值范圍. 解:(I) 圓過點O.F. 圓心M在直線上. 設則圓半徑 由得 解得 所求圓的方程為 (II)設直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F.方程有兩個不等實根. 記中點 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點G橫坐標的取值范圍為 [例2]如圖.以橢圓的中心為圓心.分別以和為半徑作大圓和小圓.過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點．連結交小圓于點．設直線是小圓的切線． (1)證明.并求直線與軸的交 點的坐標, (2)設直線交橢圓于.兩點.證明 ． (Ⅰ)證明:由題設條件知.∽故 .即 因此. ① 解:在中 ． 于是.直線OA的斜率．設直線BF的斜率為.則 ． 這時.直線BF與軸的交點為 .得直線BF得方程為且 ② 由已知.設..則它們的坐標滿足方程組 ③ 由方程組③消去.并整理得 ④ 由式①.②和④. 由方程組③消去.并整理得 ⑤ 由式②和⑤. 綜上.得到 注意到.得 [例3]A.B.C是我方三個炮兵陣地.A在B正東6 km.C在B正北偏西30°.相距4 km.P為敵炮陣地.某時刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號.由于B.C兩地比A距P地遠.因此4 s后.B.C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號.此信號的傳播速度為1 km/s.A若炮擊P地.求炮擊的方位角． 解:如下圖.以直線BA為x軸.線段BA的中垂線為y軸建立坐標系.則 B.A(3.0).C(-5.2)． 因為|PB|=|PC|.所以點P在線段BC的垂直平分線上． 因為kBC=-.BC中點D(-4.). 所以直線PD的方程為y-=(x+4) ① 又|PB|-|PA|=4.故P在以A.B為焦點的雙曲線右支上． 設P(x.y).則雙曲線方程為-=1(x≥0) ② 聯(lián)立①②.得x=8.y=5. 所以P(8.5)．因此kPA==． 故炮擊的方位角為北偏東30°． [例4] 學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗． 設計方案如圖:航天器運行的軌跡方程為.變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞�)后返回的軌跡是以軸為對稱軸. 為頂點的拋物線的實線部分.降落點為． 觀測點同時跟蹤航天器． (1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程, (2)試問:當航天器在軸上方時.觀測點測得離航天器的距離分別為多少時.應向航天器發(fā)出變軌指令? 解(1)設曲線方程為. 由題意可知.． ． 曲線方程為 (2)設變軌點為.根據(jù)題意可知 得 . 或． ． 得 或． 點的坐標為. ． 答:當觀測點測得距離分別為時.應向航天器發(fā)出變軌指令． [研討．欣賞]已知一列橢圓..若橢圓上有一點.使到右準線的距離是與的等差中項.其中.分別是的左.右焦點. (Ⅰ)試證:, (Ⅱ)取.并用表示的面積.試證:且 證:(I)由題設及橢圓的幾何性質(zhì)有.故. 設.則右準線方程為． 因此.由題意應滿足即解之得:. 即.從而對任意． (II)設點的坐標為.則由及橢圓方程易知 . 因.故的面積為. 從而. 令.由.得兩根從而易知函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù).而在內(nèi)是減函數(shù). 現(xiàn)在由題設取則是增數(shù)列. 又易知. 故由前已證.知.且. 說明:如果建立Sn與n的函數(shù),討論單調(diào)性比較復雜. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(2006福建，20)如下圖，已知橢圓的左焦點F，O為坐標原點．

(1)求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；

(2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

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