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14．垂徑定理的幾種形式:①垂直于弦的直徑平分弦,②平分弦的直徑垂直于弦,③垂直平分弦的直線過圓心. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（12分）圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：已知直線與曲線：交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在，則.這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：

①     過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡的方程；

②     過點(diǎn)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.

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我們知道，任何一個(gè)三角形的任意三條邊與對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角滿足余弦定理，比如：在△ABC中，三條邊a，b，c對(duì)應(yīng)的內(nèi)角分別為A、B、C，那么用余弦定理表達(dá)邊角關(guān)系的一種形式為：a2=b2+c2-2bccosA，請(qǐng)你用規(guī)范合理的文字?jǐn)⑹鲇嘞叶ɡ恚ㄗ⒁�，表述中不能出現(xiàn)任何字母）：
三角形的任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和與這兩邊以及它們的夾角的余弦的乘積的2倍的差
三角形的任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和與這兩邊以及它們的夾角的余弦的乘積的2倍的差
．

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已知離心率為
3
2
的橢圓C1的頂點(diǎn)A1，A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2．
（Ⅰ）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k1•k2的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)k1=
1
2
時(shí)，圓C2：x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長(zhǎng)為
4
5
5
，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

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已知離心率為的橢圓C1的頂點(diǎn)A1，A2恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2．
（Ⅰ）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k1•k2的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，圓C2：x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

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已知離心率為的橢圓C1的頂點(diǎn)A1，A2恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2．
（Ⅰ）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k1•k2的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，圓C2：x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

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