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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，直線(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒過(guò)定點(diǎn)F．設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為2+

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關(guān)系．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+y²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（4，-1），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程；
（2）是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使過(guò)P點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線l與圓C₁和圓C₂都相交，且l被兩圓截得的弦長(zhǎng)相等，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF²-PB²=4，求點(diǎn)P的軌跡；
（2）設(shè)x1=2，x2=

1

3

，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）的一條漸近線與直線l：2x-y+1=0垂直，則實(shí)數(shù)a=．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C₁和x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB交y軸于M、N點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過(guò)圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）若△RST的頂點(diǎn)R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過(guò)圓心C₁，∠SRT=30°，求點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍．