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題型1:直線的傾斜角例1．．直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn).再向右平移1個單位.所得到的直線為( A ) (A) (B) (C) (D) [解]:∵直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為.從而淘汰又∵將向右平移1個單位得.即故選A, [點評]:此題重點考察互相垂直的直線關系.以及直線平移問題, [突破]:熟悉互相垂直的直線斜率互為負倒數(shù).過原點的直線無常數(shù)項,重視平移方法:“左加右減 , 點評:本題重點考查直線的傾斜角.斜率的關系.考查數(shù)形結(jié)合的能力例2．過圓的圓心.作直線分別交x.y正半軸于點A.B.被圓分成四部分. 若這四部分圖形面積滿足則直線AB有( ) 1條 3條 [解析]由已知.得:.第II.IV部分的面積是定值.所以.為定值.即為定值.當直線 AB繞著圓心C移動時.只可能有一個位置符合題意.即直線 AB只有一條.故選B. [答案]B 題型2:斜率公式及應用例3．全國Ⅰ文16)若直線被兩平行線所截得的線段的長為.則的傾斜角可以是 ① ② ③ ④ ⑤ 其中正確答案的序號是 .(寫出所有正確答案的序號) [解析]解:兩平行線間的距離為.由圖知直線與的夾角為.的傾斜角為.所以直線的傾斜角等于或. [答案]①⑤ (2)已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A.B兩點.分別過點A.B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C.D兩點. (1)證明點C.D和原點O在同一條直線上. (2)當BC平行于x軸時.求點A的坐標解析:(1)如圖.實數(shù)x.y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分.而表示點(x.y)與原點連線的斜率.則直線AO的斜率最大.其中A點坐標為.此時.所以的最大值是. 點評:本題還可以設.則.斜率k的最大值即為的最大值.但求解頗費周折. (2)證明:設A.B的橫坐標分別為x1.x2.由題設知x1＞1.x2＞1.點A(x1.log8x1).B(x2.log8x2). 因為A.B在過點O的直線上.所以. 又點C.D的坐標分別為(x1.log2x1).(x2.log2x2) 由于log2x1＝＝3log8x1.log2x2＝＝3log8x2. 所以OC的斜率和OD的斜率分別為 . 由此得kOC＝kOD.即O.C.D在同一條直線上. 由BC平行于x軸.有l(wèi)og2x1＝log8x2.解得 x2＝x13 將其代入.得x13log8x1＝3x1log8x1. 由于x1＞1.知log8x1≠0.故x13＝3x1.x1＝.于是點A的坐標為(.log8). 點評:本小題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象.對數(shù)換底公式.對數(shù)方程.指數(shù)方程等基礎知識.考查運算能力和分析問題的能力點評:也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導的方法求最值等.但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關系使問題解決的十分準確與清晰. 題型3:直線方程例4．已知直線的點斜式方程為.求該直線另外三種特殊形式的方程. 解析:(1)將移項.展開括號后合并.即得斜截式方程. .(0.)均滿足方程.故它們?yōu)橹本€上的兩點. 由兩點式方程得: 即 (3)由知:直線在y軸上的截距又令.得故直線的截距式方程點評:直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系.它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式.要掌握好它們之間的互化.在解具體問題時.要根據(jù)問題的條件.結(jié)論.靈活恰當?shù)剡x用公式.使問題解得簡捷.明了. 例5．直線經(jīng)過點P.且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5.求直線的方程. 解析:設所求直線的方程為. ∵直線過點P..即. 又由已知有.即. 解方程組.得:或故所求直線的方程為:.或. 即.或點評:要求的方程.須先求截距a.b的值.而求截距的方法也有三種: (1)從點的坐標或中直接觀察出來, (2)由斜截式或截距式方程確定截距, (3)在其他形式的直線方程中.令得軸上的截距b,令得出x軸上的截距a. 總之.在求直線方程時.設計合理的運算途徑比訓練提高運算能力更為重要.解題時善于觀察.勤于思考.常常能起到事半功倍的效果. 題型3:直線方程綜合問題例5．直線與圓的位置關系為( ) A．相切 B．相交但直線不過圓心 C．直線過圓心 D．相離 [解析]圓心為到直線.即的距離.而.選B. [答案]B [點評]:此題重點考察圓的標準方程和點到直線的距離, [突破]:數(shù)形結(jié)合.使用點到直線的距離距離公式例6．若圓與圓的公共弦長為.則a= . [解析]由已知.兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 . 利用圓心(0.0)到直線的距離d為.解得a=1. [答案]1 (2)已知動圓過定點P(1.0).且與定直線l:x=-1相切.點C在l上. (Ⅰ)求動圓圓心的軌跡M的方程, (Ⅱ)設過點P.且斜率為-的直線與曲線M相交于A.B兩點. (i)問:△ABC能否為正三角形?若能.求點C的坐標,若不能.說明理由, (ii)當△ABC為鈍角三角形時.求這種點C的縱坐標的取值范圍. (Ⅰ)解法一.依題意.曲線M是以點P為焦點.直線l為準線的拋物線.所以曲線M的方程為y2=4x. 解法二:設M(x.y).依題意有|MP|=|MN|. 所以|x+1|=.化簡得:y2=4x. (Ⅱ)(i)由題意得.直線AB的方程為y=-(x-1). 由消y得3x2-10x+3=0. 解得x1=.x2=3. 所以A點坐標為().B點坐標為(3.-2). |AB|=x1+x2+2=. 假設存在點C(-1.y).使△ABC為正三角形.則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|.即 ① ② 由①-②得42+(y+2)2=()2+(y-)2. 解得y=-. 但y=-不符合①. 所以由①.②組成的方程組無解因此.直線l上不存在點C.使得△ABC是正三角形. (ii)解法一:設C(-1.y)使△ABC成鈍角三角形.由得y=2. 即當點C的坐標為(-1.2)時.A.B.C三點共線.故y≠2. 又|AC|2=(-1-)2+(y-)2=+y2. |BC|2=(3+1)2+(y+2)2=28+4y+y2. |AB|2=()2=. 當∠CAB為鈍角時.cosA=<0. 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2.即. 即y>時.∠CAB為鈍角當|AC|2>|BC|2+|AB|2.即. 即y<-時.∠CBA為鈍角. 又|AB|2>|AC|2+|BC|2.即. 即. 該不等式無解.所以∠ACB不可能為鈍角因此.當△ABC為鈍角三角形時.點C的縱坐標y的取值范圍是. 解法二:以AB為直徑的圓的方程為(x-)2+(y+)2=()2. 圓心()到直線l:x=-1的距離為. 所以.以AB為直徑的圓與直線l相切于點G(-1.-). 當直線l上的C點與G重合時.∠ACB為直角.當C與G點不重合.且A.B.C三點不共線時.∠ACB為銳角.即△ABC中.∠ACB不可能是鈍角. 因此.要使△ABC為鈍角三角形.只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角過點A且與AB垂直的直線方程為. 令x=-1得y=. 過點B且與AB垂直的直線方程為y+2(x-3). 令x=-1得y=-. 又由解得y=2. 所以.當點C的坐標為(-1.2)時.A.B.C三點共線.不構成三角形. 因此.當△ABC為鈍角三角形時.點C的縱坐標y的取值范圍是y<-或y>(y≠2). 點評:該題全面綜合了解析幾何.平面幾何.代數(shù)的相關知識.充分體現(xiàn)了“注重學科知識的內(nèi)在聯(lián)系 .題目的設計新穎脫俗.能較好地考查考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應用.以及分類討論的思想.方程的思想.該題對思維的目的性.邏輯性.周密性.靈活性都進行了不同程度的考查.對運算.化簡能力要求也較高.有較好的區(qū)分度. 題型4:圓的方程例7．(1)已知△ABC的三個項點坐標分別是A(4.1).B.C.求△ABC外接圓的方程. 分析:如果設圓的標準方程.將三個頂點坐標分別代入.即可確定出三個獨立參數(shù)a.b.r.寫出圓的標準方程,如果注意到△ABC外接圓的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點.由此可求圓心坐標和半徑.也可以寫出圓的標準方程. 解法一:設所求圓的方程是 ① 因為A(4.1).B.C都在圓上. 所以它們的坐標都滿足方程①.于是可解得所以△ABC的外接圓的方程是. 解法二:因為△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上.也在BC的垂直平分線上.所以先求AB.BC的垂直平分線方程.求得的交點坐標就是圓心坐標. ∵..線段AB的中點為.線段BC的中點為. 圖4-1 ∴AB的垂直平分線方程為. ① BC的垂直平分線方程 ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 ∴△ABC外接圓的圓心為E. 半徑. 故△ABC外接圓的方程是．點評:解法一用的是“待定系數(shù)法 .解法二利用了圓的幾何性質(zhì) (2)求過A(4.1).B.C三點的圓的方程.并求這個圓的半徑長和圓心坐標. 分析:細心的同學已經(jīng)發(fā)現(xiàn).本題與上節(jié)例1是相同的.在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解.可以比較一下哪種方法簡捷. 解析:設圓的方程為 ① 因為三點A(4.1).B.C都在圓上.所以它們的坐標都是方程①的解.將它們的坐標分別代入方程①.得到關于D.E.F的一個三元一次方程組: .解得. 所以.圓的方程是. 圓心是坐標.半徑為. 點評:“待定系數(shù)法是求圓的方程的常用方法．一般地.在選用圓的方程形式時.若問題涉及圓心和半徑.則選用標準方程比較方便.否則選用一般方程方便些例8．若方程. (1)當且僅當在什么范圍內(nèi).該方程表示一個圓. (2)當在以上范圍內(nèi)變化時.求圓心的軌跡方程. 解析:(1)由. . 當且僅當時. 即時.給定的方程表示一個圓. (2)設圓心坐標為.則(為參數(shù)). 消去參數(shù).為所求圓心軌跡方程. 點評:圓的一般方程.圓心為點.半徑.其中. 題型5:圓的綜合問題例9．如圖2.在平面直角坐標系中.給定y軸正半軸上兩點A(0.a).B(0.b)().試在x軸正半軸上求一點C.使∠ACB取得最大值解析:設C是x軸正半軸上一點.在△ABC中由正弦定理.有 . 其中R是△ABC的外接圓的半徑. 可見.當R取得最小值時.∠ACB取得最大值在過A.B兩定點且與x軸正向有交點C的諸圓中.當且僅當點C是圓與x軸的切點時.半徑最小.故切點C即為所求. 由切割線定理.得: 所以 .即點C的坐標為時.∠ACB取得最大值. 點評:圓是最簡單的二次曲線.它在解析幾何及其它數(shù)學分支中都有廣泛的應用.對一些數(shù)學問題.若能作一個輔助圓.可以溝通題設與結(jié)論之間的關系.從而使問題得解.起到鋪路搭橋的作用. 例10．已知⊙O′過定點A.圓心O′在拋物線x2=2py上運動.MN為圓O′截x軸所得的弦.令|AM|=d1.|AN|=d2.∠MAN=θ. (1)當O′點運動時.|MN|是否有變化?并證明你的結(jié)論, (2)求+的最大值.并求取得最大值的θ值. 解析:設O′(x0.y0).則x02=2py0 (y0≥0).⊙O′的半徑|O′A|=.⊙O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.令y=0.并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0.解得xM=x0 – p.xN=x0+p.∴|MN|=| xN – xM|=2p為定值. (2)∵M(x0-p.0) .N(x0+p.0) ∴d1=.d2=.則d12+d22=4p2+2x02.d1d2=. ∴+===2=2≤2=2. 當且僅當x02=2p2.即x=±p.y0=p時等號成立.∴+的最大值為2. 此時|O′B|=|MB|=|NB|(B為MN中點).又O′M=O′N. ∴△O′MN為等腰直角三角形.∠MO′N=90°.則θ=∠MO′N=45°. 點評:數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學學科的重要思想.又是數(shù)學研究的常用方法已知為圓:的兩條相互垂直的弦.垂足為,則四邊形的面積的最大值為 . [解析]設圓心到的距離分別為,則. 四邊形的面積 [答案]5 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知直線xsinα+ycosα+1=0（a∈R），給出下列四個命題：
（1）直線的傾斜角是π-α；
（2）無論a如何變化，直線不過原點；
（3）無論a如何變化，直線總和一個定圓相切；
（4）當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1；
其中正確命題的序號是

（2）（3）（4）

．（把你認為正確命題的序號全填上）

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(本題滿分10分)設圓內(nèi)有一點，為過點的直線。