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[例1]已知平面∥平面.直線平面,點(diǎn)P直線,平面.間的距離為8.則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10.且到的距離為9的點(diǎn)的軌跡是( ) A.一個(gè)圓 B.四個(gè)點(diǎn) C.兩條直線 D .兩個(gè)點(diǎn) 錯(cuò)解:A. 錯(cuò)因:學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離.線線距離.面面距離的關(guān)系掌握不牢. 正解:B. [例2] a和b為異面直線.則過(guò)a與b垂直的平面( ). A．有且只有一個(gè) B．一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè) C．可能不存在 D．可能有無(wú)數(shù)個(gè) 錯(cuò)解:A. 錯(cuò)因:過(guò)a與b垂直的平面條件不清. 正解:C. [例3]由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段.斜足分別為A,B,C.O為⊿ABC的外心.求證:. 錯(cuò)解:因?yàn)镺為⊿ABC的外心.所以O(shè)A＝OB＝OC.又因?yàn)镻A＝PB＝PC.PO公用.所以⊿POA.⊿POB.⊿POC都全等.所以POA＝POB＝POC＝.所以. 錯(cuò)因:上述解法中POA＝POB＝POC＝RT.是對(duì)的.但它們?yōu)槭裁词侵苯悄?這里缺少必要的證明. 正解:取BC的中點(diǎn)D.連PD.OD. [例4]如圖.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AB=3.AA1=4,M為AA1的中點(diǎn).P是BC上一點(diǎn).且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為.設(shè)這條最短路線與C1C的交點(diǎn)為N, 求: (1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng), (2)PC和NC的長(zhǎng), (3)平面NMP和平面ABC所成二面角的大小 錯(cuò)因:(1)不知道利用側(cè)面BCC1 B1展開(kāi)圖求解,不會(huì)找 的線段在哪里;(2)不會(huì)找二面角的平面角. 正解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9.寬為4的矩形.其對(duì)角線長(zhǎng)為 (2)如圖.將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC1在同一平面上.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置.連接MP1 .則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)CC1到點(diǎn)M的最短路線. 設(shè)PC＝.則P1C＝. 在 (3)連接PP1.則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線.作NH于H.又CC1平面ABC.連結(jié)CH.由三垂線定理的逆定理得.. [例5] P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn).Q 是PA 的中點(diǎn).求證:PC∥ 平面BDQ ． 分析:要證明平面外的一條直線和該平面平行.只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了． 證明:如圖所示.連結(jié)AC .交BD 于點(diǎn)O . ∵四邊形ABCD 是平行四邊形. ∴AO=CO .連結(jié)OQ .則OQ 在平面BDQ 內(nèi).且OQ 是 的中位線.∴PC∥OQ ． ∵PC 在平面BDQ 外.∴PC∥平面BDQ ． 點(diǎn) 評(píng):應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí).關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行. [例6] 在正方體A1B1C1D1-ABCD中.E.F分別是棱AB.BC的中點(diǎn).O是底面ABCD的中點(diǎn)．求證:EF垂直平面BB1O． 證明 : 如圖,連接AC.BD.則O為AC和BD的交點(diǎn)． ∵E.F分別是AB.BC的中點(diǎn). ∴EF是△ABC的中位線.∴EF∥AC． ∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD ∴AC⊥B1B.由正方形ABCD知:AC⊥BO. 又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線. ∴AC⊥平面BB1O ∵AC∥EF. ∴ EF⊥平面BB1O． [例7]如圖.在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.E 是BB1 的中點(diǎn).O 是底面正方形ABCD 的中心.求證:OE 平面ACD1 ． 分析:本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法.要證明OE 平面ACD1 .只要在平面ACD1 內(nèi)找兩條相交直線與OE 垂直． 證明:連結(jié)B1D .A!D .BD .在△B1BD 中. ∵E,O 分別是B1B 和DB 的中點(diǎn). ∴EO∥B1D ． ∵B1A1 面AA1D1D . ∴DA1 為DB1 在面AA1D1D 內(nèi)的射影． 又∵AD1A1D . ∴AD1DB1 ． 同理可證B1DD1C ． 又∵AD1.AD1,D1C 面ACD1 . ∴B1D 平面ACD1 ． ∵B1D∥OE . ∴OE 平面ACD1 ． 點(diǎn) 評(píng):要證線面垂直可找線線垂直.這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用.也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直.即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用． [例8]．如圖.正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上, 點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA1B1B. 證明: 證法一.如圖,作ME∥BC,交BB1于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B. ME=NF 又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN為平行四邊形, MN∥EF. MN∥平面AA1B1B. 證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連B1P,則B1P平面AA1B1B. ∽, 又CM=DN,B1C=BD, ∥B1P. B1P平面AA1B1B, MN∥平面AA1B1B. 證法三.如圖,作MP∥BB1,交BC于點(diǎn)P,連NP. MP∥BB1, BD=B1C,DN=CM, NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA1B1B. MN∥平面AA1B1B. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知平面α∥平面β，直線l?α，點(diǎn)P∈l，平面α、β之間的距離為8，則在β內(nèi)到P點(diǎn)的距離為9的點(diǎn)的軌跡是：（　　）
A、一個(gè)圓B、兩條直線C、四個(gè)點(diǎn)D、兩個(gè)點(diǎn)

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已知平面α∥平面β，直線l?平面α，點(diǎn)P∈直線l，平面α與平面β間的距離為8，則在平面β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到直線l的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（　　）

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已知平面α∥平面β，直線L?平面α，點(diǎn)P∈直線L，平面α、β間的距離為8，則在β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到L的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（　　）
A、一個(gè)圓B、四個(gè)點(diǎn)C、兩條直線D、兩個(gè)點(diǎn)

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已知平面α//平面β，直線 lα，點(diǎn) P∈l，平面α、β間的距離為a，則在β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為c且到直線l的距離為b（a＜b＜c）的點(diǎn)Q的軌跡（    ）

A．是一個(gè)圓       B.是兩條直線          C.不存在            D.是四個(gè)點(diǎn)

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已知平面α∥平面β，直線l?平面α，點(diǎn)P∈直線l，平面α與平面β間的距離為8，則在平面β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到直線l的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（　�。�
A．一個(gè)圓B．四個(gè)點(diǎn)C．兩條直線D．兩個(gè)點(diǎn)

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