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數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為) 數(shù)列 l 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式, 其前n項(xiàng)和公式為. l 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式, 其前n項(xiàng)的和公式為 或. l 等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為 , 其前n項(xiàng)和公式為 . l 分期付款 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為). 三角函數(shù) l 常見三角不等式 (1)若.則.(2) 若.則. (3) . l 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 .=.. l 正弦.余弦的誘導(dǎo)公式 l 和角與差角公式 ; ; . ; . =(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ). l 半角正余切公式: l 二倍角公式 ... l 三倍角公式 . .. l 三角函數(shù)的周期公式 函數(shù).x∈R及函數(shù).x∈R(A,ω,為常數(shù).且A≠0.ω＞0)的周期,函數(shù).(A,ω,為常數(shù).且A≠0.ω＞0)的周期. l 正弦定理 . l 余弦定理 ;;. l 面積定理 (1)(分別表示a.b.c邊上的高). (2). (3). l 三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中.有 . l 在三角形中有下列恒等式: ① ② l 簡單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . l 最簡單的三角不等式及其解集 . . . . . . l 角的變形:向量 l 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)λ.μ為實(shí)數(shù).那么 =a; a=λa+μa;=λa+λb. l 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) a·b= b·a (a)·b= (a·b)=a·b= a·(b); (3)(a+b)·c= a ·c +b·c. l 平面向量基本定理 如果e1.e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.那么對于這一平面內(nèi)的任一向量.有且只有一對實(shí)數(shù)λ1.λ2.使得a=λ1e1+λ2e2． 不共線的向量e1.e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． l 向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a=,b=.且b0.則ab(b0). l a與b的數(shù)量積 a·b=|a||b|cosθ． l a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． l 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)設(shè)a=,b=.則a+b=. (2)設(shè)a=,b=.則a-b=. (3)設(shè)A.B,則. (4)設(shè)a=.則a=. (5)設(shè)a=,b=.則a·b=. l 兩向量的夾角公式 (a=,b=). l 平面兩點(diǎn)間的距離公式 = (A.B). l 向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=.且b0.則 A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. l 線段的定比分公式 設(shè)..是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù).且.則 (). l 三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為..,則△ABC的重心的坐標(biāo)是. l 點(diǎn)的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x.y)在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為.且的坐標(biāo)為. l “按向量平移 的幾個(gè)結(jié)論 (1)點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn). (2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為. (3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為. (4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=. l 三角形五“心 向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點(diǎn).角所對邊長分別為.則 (1)為的外心. (2)為的重心. (3)為的垂心. (4)為的內(nèi)心. (5)為的的旁心. 不等式 l 常用不等式: (1)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“= 號)． (2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“= 號)． (3) (4)柯西不等式 (5). l 極值定理 已知都是正數(shù).則有 (1)若積是定值.則當(dāng)時(shí)和有最小值, (2)若和是定值.則當(dāng)時(shí)積有最大值. 推廣 已知.則有 (1)若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大, 當(dāng)最小時(shí),最小. (2)若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最小, 當(dāng)最小時(shí), 最大. l 一元二次不等式.如果與同號.則其解集在兩根之外,如果與異號.則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外.異號兩根之間. , . l 含有絕對值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí).有 . 或. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 (N*),其中．

(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

   ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

   則當(dāng)時(shí),

    即

即

故當(dāng)時(shí)，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

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已知數(shù)列的前n項(xiàng)和且=2.

（1） 求的值,并證明：當(dāng)n>2時(shí)有；

（2） 求證：….

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列中通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和關(guān)系式的運(yùn)用。得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系式。同時(shí)能利用的通項(xiàng)公式，求解前n項(xiàng)和，并求和證明。

 

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如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（1）設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列，求an和an-1（n≥2，n∈N）的關(guān)系式；
（2）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將a1，a2，a3，…，a10這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個(gè)數(shù)．

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在等差數(shù)列{an}中，a4s4=-14，s5-a5=-14，其中sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，曲線cn的方程是
x2
|an|
+
y2
4
=1，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）判斷cn與 l 的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)直線l 與曲線cn相交于不同的兩點(diǎn)An，Bn時(shí)，令Mn=（|an|+4）|AnBn|，求Mn的最小值．

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在等差數(shù)列{an}中，a4S4=-14，S5-a5=-14，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和，曲線Cn的方程是
x2
|an|
+
y2
4
=1，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；   
（2）判斷Cn與l的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)直線l與曲線Cn相交于不同的兩點(diǎn)An，Bn時(shí)，令Mn=（|an|+4）|AnBn|，求Mn的最小值．
（4）對于直線l和直線外的一點(diǎn)P，用“l(fā)上的點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小值”定義點(diǎn)P到直線l的距離與原有的點(diǎn)到直線距離的概念是等價(jià)的．若曲線Cn與直線l不相交，試以類似的方式給出一條曲線Cn與直線l間“距離”的定義，并依照給出的定義，在Cn中自行選定一個(gè)橢圓，求出該橢圓與直線l的“距離”．

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