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注意:上述等號“＝ 成立的條件, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)a、b是兩個(gè)向量，對不等式0≤|a+b|≤|a|+|b|給出下列四個(gè)結(jié)論：
①不等式左端的不等號“≤”只能在a＝b＝0時(shí)取等號“＝”；
②不等式左端的不等號“≤”只能在a與b不共線時(shí)取不等號“＜”；
③不等式右端的不等號“≤”只能在a與b均非零且同向共線時(shí)取等號“＝”；
④不等式右端的不等號“≤”只能在a與b不共線時(shí)取不等號“＜”．

其中正確的結(jié)論有


  1. A.
    0個(gè)
  2. B.
    1個(gè)
  3. C.
    2個(gè)
  4. D.
    4個(gè)

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設(shè)n為自然數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋

(1)試證：若m、n∈N*且m＜n，則f(n)≥f(m)＋，并指出取等號的條件；

(2)計(jì)算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，觀察上述結(jié)果，推測一般的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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已知基本不等式：≥(a、b都是正實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立)可以推廣到n個(gè)正實(shí)數(shù)的情況，即對于n個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…，an，有≥(當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3＝…＝an時(shí)，取等號)．

同理，當(dāng)a、b都是正實(shí)數(shù)時(shí)，(a＋b)(＋)≥2ab·2·＝4，可以推導(dǎo)出結(jié)論：對于n個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…，an有(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥________；(a1＋a2＋a3＋a4)(＋＋＋)≥________；(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…)≥________；

如果對于n個(gè)同號實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…，an(同正或者同負(fù))，那么，根據(jù)上述結(jié)論，(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…)的取值范圍是________．

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一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖1所示的虛線裁下剪開，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器．

（1）試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域．
（2）記四棱錐（如圖2）的側(cè)面積為S′，定義
V
S′
為四棱錐形容器的容率比，容率比越大，用料越合理．
如果對任意的a，b∈R+，恒有如下結(jié)論：ab≤
a2+b2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號．試用上述結(jié)論求容率比的最大值，并求容率比最大時(shí)，該四棱錐的表面積．

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請先閱讀：
設(shè)平面向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），且
a
與
b
的夾角為θ，
因?yàn)?span id="vx5zfzp" class="MathJye">
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ，
所以
a
•
b
≤|
a
||
b
|．
即a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=0時(shí)，等號成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），結(jié)合空間向量，證明：對于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)成立；
（II）試求函數(shù)y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值．

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