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例1．已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為( ). (A) (B) (C)5 (D)6 分析及解:設長方體三條棱長分別為x,y,z,則依條件得: 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對角線長為,因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ∴ ,應選C. 例2．設F1和F2為雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°,則ΔF1PF2的面積是( ). (A)1 (B) (C)2 (D) 分析及解:欲求 (1),而由已知能得到什么呢? 由∠F1PF2=90°,得 (2), 又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4 兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢?我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個式子之間的關系.即, 故 ∴ ,∴ 選(A). 注:配方法實現(xiàn)了“平方和與“和的平方的相互轉化. 例3．設雙曲線的中心是坐標原點,準線平行于x軸,離心率為,已知點P(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程. 分析及解:由題意可設雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成: (1),故只需求出a可求解. 設雙曲線上點Q的坐標為(x,y),則|PQ|= (2),∵點Q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿足得|PQ|= (3),此時|PQ|2表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解. 由(3)式有(y≥a或y≤-a). 二次曲線的對稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對a≤4與a>4分類討論. (1)當a≤4時,如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值, ∴令,得a2=4 ∴所求雙曲線方程為. (2)當a>4時,如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值, ∴令,得a2=49, ∴所求雙曲線方程為. 注:此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關,因此需對字母a的取值分類討論,從而得到兩個解,同學們在解答數(shù)習題時應學會綜合運用數(shù)學思想方法解題. 例4．設f(x)是一次函數(shù),且其在定義域內是增函數(shù),又,試求f(x)的表達式. 分析及解:因為此函數(shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式. 設一次函數(shù)y=f(x)=ax+b (a>0),可知 , ∴. 比較系數(shù)可知: 解此方程組,得 ,b=2,∴所求f(x)=. 例5．如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點A在曲線(x>0,y>0)上移動,且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時點A的坐標. 分析及解:設A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y) (1) 此時S表示為變量x,y的函數(shù),如何將S表示為一個變量x(或y)的函數(shù)呢?有的同學想到由已知得x2+y2=9,如何利用此條件?是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因為表達式有開方,顯然此方法不好. 如果我們將(1)式繼續(xù)變形,會得到S=16-4(x+y)+xy (2) 這時我們可聯(lián)想到x2+y2與x+y.xy間的關系,即(x+y)2=9+2xy. 因此,只需設t=x+y,則xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數(shù), ∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴當t=4時,SABCD的最小值為. 此時注:換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯誤. 例6．設方程x2+2kx+4=0的兩實根為x1,x2,若≥3,求k的取值范圍. 解:∵≥3, 以,代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0, ∴解得k∈(-)∪[,+]. 例7．點P(x,y)在橢圓上移動時,求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值. 解:∵點P(x,y)在橢圓上移動, ∴可設于是 = = 令, ∵,∴|t|≤. 于是u=,(|t|≤). 當t=,即時,u有最大值. ∴θ=2kπ+(k∈Z)時,. 例8．過坐標原點的直線l與橢圓相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點F,求直線l的傾斜角. 解:設A(x1,y1),B(x2,y2) 直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方程整理得 (*) 由韋達定理,(1),(2) 又F(1,0)且AF⊥BF,∴, 即 , 將,代入上式整理得 , 將式代入,解得 . 故直線l的傾斜角為或. 注:本題設交點坐標為參數(shù),“設而不求 ,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為k的方程求解. 例9．設集合A={} (1)若A中有且只有一個元素,求實數(shù)a的取值集合B, (2)當a∈B時,不等式x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范圍. 解:(1)令t=2x,則t>0且方程化為t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一個元素等價于方程(*)有且只有一個正根,再令f(t)=t2-2t+a, 則Δ=0 或即a=1或a≤0,從而B=(-,0]∪{1}. (2)當a=1時,<x<3+, 當a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),則當a≤0時不等式恒成立, 即當a≤0時,g(a)>0恒成立,故 ≤4. 綜上討論,x的取值范圍是(,4). 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知長方體的全面積為11，所有棱長之和為24，則這個長方體的體對角線的長為

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已知長方體的全面積為,其條棱的長度之和為,則這個長方體的一條