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[例1]如圖.三棱錐D-ABC中.平面ABD.平面ABC均為等腰直角三角形.∠ABC=∠BAD=900.其腰BC=a.且二面角D-AB-C=600. (1) 求異面直線DA與BC所成的角, (2) 求異面直線BD與AC所成的角, (3) 求D到BC的距離, (4) 求異面直線BD與AC的距離. 解析:(1)DA與BC成600角 (2)設(shè)BE中點(diǎn)為O.DE中點(diǎn)為F.連OF.則OF//BD.求∠AOF即為 異面直線BD與AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF =arccos (3)∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC故取AE中點(diǎn)M.則有DM⊥平面ABC,取BC中點(diǎn)N.由MN⊥BC.根據(jù)三垂線定理.DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距離 在△DMN中.DM=a.MN=a ∴ DN=a (4)∵ BF平面BDF.AC平面BDF.AC∥BF ∴ AC∥平面BDF, 又BD平面BDF ∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離 ∵ . ∴ . 即異面直線BD與AC的距離為 ◆評(píng)注:三棱錐的等體積變換求高.也是求點(diǎn)到面距離的常用方法. [例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面垂直,M是PB的中點(diǎn), (Ⅰ) 求證:CM∥側(cè)面PAD, (Ⅱ)求直線CM與底面ABCD所成的角, (Ⅲ)求側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所成二面角的大小 解:(Ⅰ)證明:作MN∥AB交AP于N,連結(jié)DN, 則MN∥AB∥CD,且 ∴CM∥ND,CM∥平面PAD (Ⅱ)∵CM∥ND, ∴ND與平面ABCD所成的角為所求. ∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD.∴ND在平面ABCD上的射影為AD ∴∠AND為所求, ∵⊿PAD是正三角形.N是PA的中點(diǎn) ∴CM與底面所成的角為30º. (Ⅲ)延長(zhǎng)AD.BC交于點(diǎn)E,連結(jié)P.E. 則PE為所求二面角的棱.且AD=DE=PD 所以.∠APE=90º.AP⊥PE 又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD ∴AB⊥平面PAE ∴BP⊥PE, ∠BPA為所求二面角的平面角 tan∠BPA= 所以.側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所的角為arctan2 [例3]如圖.已知二面角α-PQ-β為60°.點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在平面α和平面 β 內(nèi).點(diǎn)C在棱PQ上.∠ACP=∠BCP=30°.CA=CB=a. (1)求證:AB⊥PQ, (2)求點(diǎn)B到平面α的距離, (3)設(shè)R是線段CA上的一點(diǎn).直線BR與平面α所成的角為45°.求線段CR的長(zhǎng)度. 證明(1):在平面β內(nèi)作BD⊥PQ于D.連結(jié)AD. ∵∠ACP=∠BCP=30°.CA=CB=a.CD公用. ∴△ACD≌△BCD . ∴∠ADC=∠BDC= 90°.即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD. 則AB⊥PQ. 知.∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角. ∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD. ∴α⊥平面ABD.過B作BE⊥AD于點(diǎn)E.則BE即為B到平面α的距離. BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°= a. (3) 解:連結(jié)ER.∵BE⊥α.∴∠BRE是BR與α所成的角. 即∠BRE=45°.則有BR== a.易知△ABD為正三角形.AB=AD=BD=a. 在△ABC中.由余弦定理得cos∠BCA=. 在△BCR中.設(shè)CR=x.由余弦定理得(a)2=x2+a2-2ax·.求得x1=.x2=(舍去.∵CR<AC=a).故CR=. [例4]四棱錐中.底面ABCD為平行四邊形.側(cè)面底面ABCD.已知,,,． (Ⅰ)證明:, (Ⅱ)求直線SD與平面SBC所成角的大�。� 解:(1)作.垂足為.連結(jié).由側(cè)面底面.得底面． 因?yàn)?所以. 又.故為等腰直角三角形..由三垂線定理.得． 知.依題設(shè). 故.由..． 又.作.垂足為.則平面.連結(jié)．為直線與平面所成的角． ∴直線與平面SBC所成的角為． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：
①
BD
•
AC
≠0；
②∠BAC=60°；
③三棱錐D-ABC是正三棱錐；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正確的是（　�。�
A、①②B、②③C、③④D、①④

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如圖所示，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜
邊，且AD=
3
，BD=CD=1，另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形．
（1）當(dāng)正視圖方向與向量
CD
的方向相同時(shí)，畫出三棱錐A-BCD的三視圖；（要求標(biāo)出尺寸）
（2）求二面角B-AC-D的余弦值；
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與平面BCD成30°角？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，說明理由．

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如圖所示，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=2，另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形．

(1)求證：AD⊥BC；

(2)求二面角B-AC—D的大�。�

(3)(理)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與平面BCD成30°角?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，說明理由．

第21題圖

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如圖所示是直三棱柱A1B1C1-ABC的三視圖，D、E分別是棱CC1和棱B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐E-ABD在平面的投影的面積為（    ）

A．2      B．           C．3           D．4

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精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，精英家教網(wǎng)在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

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