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題型1:兩角和與差的三角函數(shù) 例1．已知.求cos. 分析:因為既可看成是看作是的倍角.因而可得到下面的兩種解法. 解法一:由已知sin+sin=1----①. cos+cos=0----②. ①2+②2得 2+2cos, ∴ cos. ①2-②2得 cos2+cos2+2cos()=-1. 即2cos()()=-1. ∴. 解法二:由①得----③ 由②得----④ ④÷③得 點評:此題是給出單角的三角函數(shù)方程.求復角的余弦值.易犯錯誤是利用方程組解sin.cos . sin . cos.但未知數(shù)有四個.顯然前景并不樂觀.其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化.“整體對應 巧應用. 例2．已知 求[來源:ZXXK] 分析:由韋達定理可得到進而可以求出的值.再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值 解法一:由韋達定理得tan. 所以tan 解法二:由韋達定理得tan. 所以tan[來源:] . . 點評:(1)本例解法二比解法一要簡捷.好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結構.從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū) .(2)運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式.我們不僅要記住公式.更重要的是抓住公式的特征.如角的關系.次數(shù)關系.三角函數(shù)名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用.而且抓住了公式的結構特征.有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結構特征.聯(lián)想到相應的公式.從而找到解題的切入點.(3)對公式的逆用公式.變形式也要熟悉.如 題型2:二倍角公式 例3．化簡下列各式: (1). (2). 分析:(1)若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口,(2)由于分子是一個平方差.分母中的角.若注意到這兩大特征.不難得到解題的切入點 解析:(1)因為. 又因. 所以.原式=. (2)原式= =. 點評:(1)在二倍角公式中.兩個角的倍數(shù)關系.不僅限于2是的二倍.要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系.同時還要注意三個角的內在聯(lián)系的作用.是常用的三角變換.(2)化簡題一定要找準解題的突破口或切入點.其中的降次.消元.切割化弦.異名化同名.異角化同角是常用的化簡技巧.(3)公式變形.. 例4．若. 分析:注意的兩變換.就有以下的兩種解法. 解法一:由. 解法二:. [來源:學+科+網(wǎng)] 點評:此題若將的左邊展開成再求cosx.sinx的值.就很繁瑣.把.并注意角的變換2·運用二倍角公式.問題就公難為易.化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時.要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系.一般方法是拼角與拆角. 如. . 等. 題型3:輔助角公式 例5．已知正實數(shù)a,b滿足. 分析:從方程 的觀點考慮.如果給等式左邊的分子.分母同時除以a.則已知等式可化為關于程.從而可求出由.若注意到等式左邊的分子.分母都具有的結構.可考慮引入輔助角求解 解法一:由題設得 解法二: 解法三: 點評:以上解法中.方法一用了集中變量的思想.是一種基本解法,解法二通過模式聯(lián)想.引入輔助角.技巧性較強.但輔助角公式..或 在歷年高考中使用頻率是相當高的.應加以關注,解法三利用了換元法.但實質上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點.所以解法三最佳. 例6．函數(shù)(為常數(shù).)在閉區(qū)間上的圖象如圖所示.則= . 答案 3 解析 考查三角函數(shù)的周期知識 ..所以. 點評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質.考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力. 已知函數(shù). (Ⅰ)求的最小正周期, (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值. 解析 本題主要考查特殊角三角函數(shù)值.誘導公式.二倍角的正弦.三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎知識.主要考查基本運算能力． 解(Ⅰ)∵. ∴函數(shù)的最小正周期為. (Ⅱ)由.∴. ∴在區(qū)間上的最大值為1.最小值為. 點評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質.利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力. 題型4:三角函數(shù)式化簡 例7．求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值 解析:原式＝++ ＝1++sin70°- ＝-sin70°sin30°+sin70° ＝-sin70°+sin70°＝. 點評:本題考查三角恒等式和運算能力. 例8．已知函數(shù). (Ⅰ)求的定義域, (Ⅱ)設的第四象限的角.且.求的值 解析:(Ⅰ)由 得. 故在定義域為 (Ⅱ)因為.且是第四象限的角, 所以  故 . 題型5:三角函數(shù)求值 例9．設函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個高點的橫坐標為. (Ⅰ)求ω的值, (Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為.求a的值. 解析:(I) 依題意得 ． 知.. 又當時..故.從而在區(qū)間上的最小值為.故 例10．求函數(shù)＝2+的值域和最小正周期 解析:y=cos(x+) cos(x-)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+). ∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x-)+sin2x的值域是[-2,2],最小正周期是π. 題型6:三角函數(shù)綜合問題 例11． 設向量 (1)若與垂直.求的值, (2)求的最大值; (3)若.求證:∥. [解析] 本小題主要考查向量的基本概念.同時考查同角三角函數(shù)的基本關系式.二倍角的正弦.兩角和的正弦與余弦公式.考查運算和證明得基本能力.滿分14分 點評:本題主要考察以下知識點:1.向量垂直轉化為數(shù)量積為0,2.特殊角的三角函數(shù)值,3.三角函數(shù)的基本關系以及三角函數(shù)的有界性,4.已知向量的坐標表示求模.難度中等.計算量不大. 例12．設0<θ<.曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4個不同的交點. (1)求θ的取值范圍, (2)證明這4個交點共圓.并求圓半徑的取值范圍 解析:(1)解方程組.得, 故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為.(0<θ<)0<θ<. (2)設四個交點的坐標為(xi.yi)(i=1.2.3.4).則:xi2+yi2=2cosθ∈(.2)(i=1.2.3.4). 故四個交點共圓.并且這個圓的半徑r=cosθ∈(). 本題共有2個小題.第1小題滿分6分.第2小題滿分8分 . 已知ΔABC的角A.B.C所對的邊分別是a.b.c.設向量. . . (1) 若//.求證:ΔABC為等腰三角形, (2) 若⊥.邊長c = 2.角C = .求ΔABC的面積 . 證明:(1) 即.其中R是三角形ABC外接圓半徑. 為等腰三角形 解(2)由題意可知 由余弦定理可知. 點評:本題注重考查應用解方程組法處理曲線交點問題.這也是曲線與方程的基本方法.同時本題也突出了對三角不等關系的考查. 題型7:三角函數(shù)的應用 例13．有一塊扇形鐵板.半徑為R.圓心角為60°.從這個扇形中切割下一個內接矩形.即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上.求這個內接矩形的最大面積． 分析:本題入手要解決好兩個問題. (1)內接矩形的放置有兩種情況.如圖2-19所示.應該分別予以處理, (2)求最大值問題這里應構造函數(shù).怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量 解析:如圖2-19(1)設∠FOA=θ.則FG＝Rsinθ. . . 又設矩形EFGH的面積為S.那么 又∵0°＜θ＜60°.故當cos＝1.即θ=30′時. 如圖2-19 (2).設∠FOA＝θ.則EF＝2Rsin.在△OFG中.∠OGF＝150° 設矩形的面積為S． 那么S＝EFFG＝4R2sinθsin ＝2R2［cos-cos30°] 又∵0＜θ＜30°.故當cos＝1 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，S（x）=
ax-a-x
2
，C（x）=
ax+a-x
2
，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運算公式是（　�。�
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）-S（x）S（y）；④C（x-y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）；
A、①③B、②④
C、①④D、①②③④

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類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，S(x)=
ax-a-x
2
，C(x)=
ax+a-x
2
，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運算公式是
 
．
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）； ②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）-S（x）S（y）； ④C（x-y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．

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閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結論）

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類比有關“兩角和與差的正弦、余弦公式”的形式，對給定的兩個函數(shù)S(x)=
ax-a-x
2
，C(x)=
ax+a-x
2
其中a＞0，且a≠1，請寫出一個關于S（x）和C（x）的運算公式：
S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x），或S（x-y）=S（x）C（y）-S（y）C（x）等
S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x），或S（x-y）=S（x）C（y）-S（y）C（x）等
．

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閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用閱讀材料及（1）中的結論試判斷△ABC的形狀．

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