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問題1．求下列數列的極限:, , 問題2．(陜西)等于 (天津)設等差數列的公差是.前項的和為.則 (湖北)已知和是兩個不相等的正整數.且≥.則 問題3．若.求和的值, 若.求的取值范圍. 問題4．已知數列滿足...- . 若.則 已知.數列滿足.(.-).且數列的極限存在.則 (結果用表示). 問題5．(福建)如圖.連結的各邊中點 得到一個新的又連結的各邊中點得 到.如此無限繼續(xù)下去.得到一系列三角形: ...-.這一系列 三角形趨向于一個點.已知 則點的坐標是 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網漢諾塔問題是根據一個傳說形成的一個問題：有三根桿子和套在一根桿子上的若干大小不等的穿孔圓盤，按下列規(guī)則，把圓盤從一根桿子上全部移到另一根桿子上．
①每次只能移動1個碟片；②大盤不能疊在小盤上面．
如圖所示，將A桿上所有碟片移到C桿上，B桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一個桿子移動到另一個標子為移動一次，記將A桿子上的n個碟片移動到C桿上最少需要移動an次．
（Ⅰ）寫出a1，a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設bn=
nan+1
，求數列{bn}的前n項和Sn．

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定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；
②當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|．試解答下列問題：
（1）設c＞2，方程f（x）=2的根由小到大依次記為a1，a2，a3，…，an，…，試證明：數列a2n-1+a2n為等比數列；
（2）①是否存在常數c，使函數的所有極大值點均落在同一條直線上？若存在，試求出c的所有取值并寫出直線方程；若不存在，試說明理由；②是否存在常數c，使函數的所有極大值點均落在同一條以原點為頂點的拋物線上？若存在，試求出c的所有取值并寫出拋物線方程；若不存在，試說明理由．

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數列{an}和數列{bn}（n∈N*）由下列條件確定：
（1）a1＜0，b1＞0；
（2）當k≥2時，ak與bk滿足如下條件：當
ak-1+bk-1
2
≥0時，ak=ak-1，bk=
ak-1+bk-1
2
；當
ak-1+bk-1
2
＜0時，ak=
ak-1+bk-1
2
，bk=bk-1．
解答下列問題：
（Ⅰ）證明數列{ak-bk}是等比數列；
（Ⅱ）記數列{n（bk-an）}的前n項和為Sn，若已知當a＞1時，
lim
n→∞
n
an
=0，求
lim
n→∞
Sn．
（Ⅲ）m（n≥2）是滿足b1＞b2＞…＞bn的最大整數時，用a1，b1表示n滿足的條件．

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閱讀下面所給材料：已知數列{an}，a1=2，an=3an-1+2，求數列的通項an．
解：令an=an-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式an=3an-1+2可轉化為：
an+1=3（an-1+1），因此數列{an+1}是首項為a1+1，公比為3的等比數列．
根據上述材料所給出提示，解答下列問題：
已知數列{an}，a1=1，an=3an-1+4，
（1）求數列的通項an；并用解析幾何中的有關思想方法來解釋其原理；
（2）若記Sn=
n
k=1
1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)
，求
lim
n→∞
Sn；
（3）若數列{bn}滿足：b1=10，bn+1=100bn3，利用所學過的知識，把問題轉化為可以用閱讀材料的提示，求出解數列{bn}的通項公式bn．

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若數列{an}滿足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常數），則稱數列{an}為二階線性遞推數列，且定義方程x2=px+q為數列{an}的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列{an}的通項公式an均可用特征根求得：
①若方程x2=px+q有兩相異實根α，β，則數列通項可以寫成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常數）；
②若方程x2=px+q有兩相同實根α，則數列通項可以寫成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常數）；
再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，進而求得an．根據上述結論求下列問題：
（1）當a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）時，求數列{an}的通項公式；
（2）當a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）時，求數列{an}的通項公式；
（3）當a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）時，記Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被數8整除，求所有滿足條件的正整數n的取值集合．

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