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題型1:數(shù)量積的概念 例1．判斷下列各命題正確與否: (1), (2), (3)若.則, (4)若.則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立, (5)對(duì)任意向量都成立, (6)對(duì)任意向量.有. 解析:錯(cuò),對(duì). 點(diǎn)評(píng):通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系.重點(diǎn)清楚為零向量.而為零. 例2．若..為任意向量.m∈R.則下列等式不一定成立的是( ) A． B． C．m()=m+m D． (2)(2000江西.山西.天津理.4)設(shè)..是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①(·)-(·)= ②||-||<|-| ③(·)-(·)不與垂直 ④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中.是真命題的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:(1)答案:D,因?yàn)?而,而方向與方向不一定同向. (2)答案:D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假,②由向量的減法運(yùn)算可知||.||.|-|恰為一個(gè)三角形的三條邊長.由“兩邊之差小于第三邊 .故②真,③因?yàn)椋?·)-(·)］·=(·)·-(·)·=0.所以垂直.故③假,④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立.故④真. 點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律.向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律. 題型2:向量的夾角 例3．已知向量.滿足..且.則與的夾角為( ) A． B． C． D． 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且.那么與的夾角的大小是 . (3)已知兩單位向量與的夾角為.若.試求與的夾角. | |=1.| |=2.= + .且⊥.則向量與的夾角為 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析:, (3)由題意..且與的夾角為. 所以.. . . 同理可得. 而. 設(shè)為與的夾角. 則. (4)C,設(shè)所求兩向量的夾角為 即: 所以 點(diǎn)評(píng):解決向量的夾角問題時(shí)要借助于公式.要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算.向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑.對(duì)于這個(gè)公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練.另外向量垂直的充要條件必需掌握. 例4．設(shè)平面向量..的和.如果向量...滿足.且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向.其中.則( ) A．-++= B．-+= C．+-= D．++= 已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是( ) A． B． C． D． 解析:B, 點(diǎn)評(píng):對(duì)于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會(huì)技巧性應(yīng)用.解決好實(shí)際問題. 題型3:向量的模 例5．已知向量與的夾角為.則等于( ) A．5 B．4 C．3 D．1 設(shè)向量滿足,,則( ) A．1 B．2 C．4 D．5 解析:D, 點(diǎn)評(píng):掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算.以及. 例6．已知＝(3.4).＝(4.3).求x,y的值使(x+y)⊥.且|x+y|=1. 解析:由＝(3.4).＝(4.3).有x+y=(3x+4y,4x+3y), 又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0, 即25x+24y＝0 ①, 又|x+y|=1|x+y|2＝1, (3x+4y)2+(4x+3y)2＝1, 整理得25x2+48xy+25y2＝1即x(25x+24y)+24xy+25y2＝1 ②, 由①②有24xy+25y2＝1 ③, 將①變形代入③可得:y=±, 再代回①得:. 點(diǎn)評(píng):這里兩個(gè)條件互相制約.注意體現(xiàn)方程組思想. 題型4:向量垂直.平行的判定 例7．已知向量..且.則 . 解析:∵.∴.∴.∴. 例8．已知...按下列條件求實(shí)數(shù)的值.(1),(2),. 解析: (1), (2), . 點(diǎn)評(píng):此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行.垂直.模的基本運(yùn)算. 題型5:平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用 例9．已知. 分析:.可以看作向量的模的平方.而則是.的數(shù)量積.從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式. 證明:設(shè) 則. 點(diǎn)評(píng):在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中.我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子.如等. 例10．已知.其中. (1)求證:與互相垂直, 的長度相等.求. 解析:(1)因?yàn)? 所以與互相垂直. (2). . 所以. . 因?yàn)? 所以. 有. 因?yàn)?故. 又因?yàn)? 所以. 點(diǎn)評(píng):平面向量與三角函數(shù)在“角 之間存在著密切的聯(lián)系.如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題.其形式多樣.解法靈活.極富思維性和挑戰(zhàn)性.若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理.可使解題過程得到簡化.從而提高解題的速度. 題型6:平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用 例11．已知兩點(diǎn).且點(diǎn)P(x.y)使得.成公差小于零的等差數(shù)列. (1)求證, (2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為.記與的夾角為.求. 解析:(1)略解:.由直接法得 (2)當(dāng)P不在x軸上時(shí). 而 所以.當(dāng)P在x軸上時(shí)..上式仍成立. 圖1 點(diǎn)評(píng):由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系.由面積相等法建立等量關(guān)系. 例12．用向量法證明:直徑所對(duì)的圓周角是直角. 已知:如圖.AB是⊙O的直徑.點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn).求證:∠APB＝90°. 證明:聯(lián)結(jié)OP.設(shè)向量.則且. .即∠APB＝90°. 點(diǎn)評(píng):平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問題的很好工具.它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義.在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用. 題型7:平面向量在物理中的應(yīng)用 例13．如圖所示.正六邊形PABCDE的邊長為b.有五個(gè)力.作用于同一點(diǎn)P.求五個(gè)力的合力. 解析:所求五個(gè)力的合力為.如圖3所示.以PA.PE為邊作平行四邊形PAOE.則.由正六邊形的性質(zhì)可知.且O點(diǎn)在PC上.以PB.PD為邊作平行四邊形PBFD.則.由正六邊形的性質(zhì)可知.且F點(diǎn)在PC的延長線上. 由正六邊形的性質(zhì)還可求得 故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為.方向與的方向相同. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

出于應(yīng)用方便和數(shù)學(xué)交流的需要，我們教材定義向量的坐標(biāo)如下：取
e1
和
e2
為直角坐標(biāo)第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面上的任意一個(gè)向量
a
，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得
a
=λ
e1
+μ
e2
，我們就把實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）稱作向量
a
的坐標(biāo)．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．現(xiàn)在我們用
i
和
j
表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜
i
，
j
＞=
π
3
，
（1）請你模仿直角坐標(biāo)系xOy中向量坐標(biāo)的定義方式，用向量
i
和
j
做基底向量定義斜坐標(biāo)系x‘Oy’平面上的任意一個(gè)向量
a
的坐標(biāo)；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上研究斜坐標(biāo)系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．

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由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：

①“mn＝nm”類比得到“”；

②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“”；

③“(m•n)t＝m(n•t)”類比得到“”；

④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”類比得到“”；

⑤“|m•n|＝|m|•|n|”類比得到“”；

⑥“”類比得到“”．

以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　)

A．1　　　  　B．2　　　  　C．3　　　  　D．4

 

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由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:

①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”;

②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;

③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;

④“t≠0,mt=xt⇒m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;

⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;

⑥“=”類比得到“=”.

以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

 

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已知F1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）是雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|的最小值為8，與的數(shù)量積的最小值是-16．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點(diǎn)C（9，16）能否作直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，使C為線段AB的中點(diǎn)．若能，求出直線l的方程；若不能，說明理由．

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設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)．
（1）求數(shù)量積的取值范圍；
（2）設(shè)過點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

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