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與 是互素的合數(shù)．(這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個數(shù)．) 證 我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均． 第一步.我們證明.正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì):對的任意兩個不同的非空子集A.B.有． 證明:對任意..設(shè)正整數(shù)k滿足 . ① 并設(shè)l是使的最小正整數(shù)．我們首先證明必有． 事實(shí)上.設(shè)是A中最大的數(shù).則由.易知A中至多有個元素.即.故．又由的定義知.故由①知．特別地有． 此外.顯然.故由l的定義可知．于是我們有． 若.則,否則有.則 ． 由于是A中最大元.故上式表明．結(jié)合即知． 現(xiàn)在.若有的兩個不同的非空子集A.B.使得.則由上述證明知.故.但這等式兩邊分別是A.B的元素和.利用易知必須A=B.矛盾． 第二步.設(shè)K是一個固定的正整數(shù)..我們證明.對任何正整數(shù)x.正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì):對的任意兩個不同的非空子集A.B.數(shù)與是兩個互素的整數(shù)． 事實(shí)上.由的定義易知.有的兩個子集.滿足..且 ． ② 顯然及都是整數(shù).故由上式知與都是正整數(shù)． 現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d是與的一個公約數(shù).則是d的倍數(shù).故由②可知.但由K的選取及的構(gòu)作可知.是小于K的非零整數(shù).故它是的約數(shù).從而．再結(jié)合及②可知d=1.故與互素． 第三步.我們證明.可選擇正整數(shù)x.使得中的數(shù)都是合數(shù)．由于素?cái)?shù)有無窮多個.故可選擇n個互不相同且均大于K的素?cái)?shù)．將中元素記為.則.且(對).故由中國剩余定理可知.同余方程組 . 有正整數(shù)解． 任取這樣一個解x.則相應(yīng)的集合中每一項(xiàng)顯然都是合數(shù)．結(jié)合第二步的結(jié)果.這一n元集合滿足問題的全部要求． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

給定整數(shù)，證明：存在n個互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對S的任意兩個不同的非空子集A，B，數(shù)

  與 

是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個數(shù)．）

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給定整數(shù)，證明：存在n個互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對S的任意兩個不同的非空子集A，B，數(shù)  與 

是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個數(shù)．）

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給定整數(shù)，證明：存在n個互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對S的任意兩個不同的非空子集A，B，數(shù)
 與 
是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個數(shù)．）

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給定整數(shù)，證明：存在n個互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對S的任意兩個不同的非空子集A，B，數(shù)

  與 

是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個數(shù)．）

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