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設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上的個(gè)不同的點(diǎn)（）.

（1） 當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出拋物線(xiàn)上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時(shí)，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究：

① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說(shuō)明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說(shuō)明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問(wèn)利用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得到

第二問(wèn)設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得

第三問(wèn)中①取時(shí)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">，所以，

故可取滿(mǎn)足條件.

（2）設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

；

所以.

（3） ①取時(shí)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個(gè)當(dāng)時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過(guò)作

拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，

由及拋物線(xiàn)的定義得

，即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說(shuō)明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿(mǎn)足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）

③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿(mǎn)足 ”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿(mǎn)足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，由，

及拋物線(xiàn)的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則”.此命題為真.（證略）

求由拋物線(xiàn)與直線(xiàn)及所圍成圖形的面積.

【解析】首先利用已知函數(shù)和拋物線(xiàn)作圖，然后確定交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用定積分表示出面積為，所以得到,由此得到結(jié)論為

解：設(shè)所求圖形面積為，則

=．即所求圖形面積為．

設(shè)拋物線(xiàn)：（＞0）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于,兩點(diǎn).

(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；

 (Ⅱ)若，，三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，直線(xiàn)與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值.

【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線(xiàn)的定義、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、線(xiàn)線(xiàn)平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.

【解析】設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)于軸的焦點(diǎn)為E，圓F的半徑為，

則|FE|=，=，E是BD的中點(diǎn)，

(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，

設(shè)A(，)，根據(jù)拋物線(xiàn)定義得，|FA|=，

∵的面積為，∴===，解得=2，

∴F(0,1),  FA|=，  ∴圓F的方程為：；

(Ⅱ) 解析1∵，，三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上, ∴是圓的直徑，,

由拋物線(xiàn)定義知，∴，∴的斜率為或－，

∴直線(xiàn)的方程為：，∴原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離=，

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，代入得，，

∵與只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴=，∴，

∴直線(xiàn)的方程為：，∴原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離=，

∴坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值為3.

解析2由對(duì)稱(chēng)性設(shè)，則

      點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)得：

     得：，直線(xiàn)

     切點(diǎn)

     直線(xiàn)

坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為