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（2009•崇明縣二模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標(biāo)為A（0，-

2

），且其右焦點到直線y-x-2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點M，則稱弦AB是點M的一條“相關(guān)弦”，如果點M的坐標(biāo)為M（

1

2

，0），求證點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線上；
（3）根據(jù)解決問題（2）的經(jīng)驗與體會，請運用類比、推廣等思想方法，提出一個與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價值的結(jié)論，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值）

老師告訴學(xué)生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式

OP

=

OA

+λ(

AB cosC

| AB |

+

AC cosB

| AC |

)，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為

OP

=．（用O，A，B，C四個點所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

（2008•崇明縣一模）已知：函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），其中f1(x)=x+1+

1

x

，并且當(dāng)n＞1且n∈N^*時，滿足fn(x)-fn-1(x)=xn+

1

xn

．
（1）求函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當(dāng)n=1，2，3時，分別研究函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結(jié)論，提出一個類似（2）的研究問題，并寫出問題的研究過程與研究結(jié)論．
【第（3）小題將根據(jù)你所提出問題的質(zhì)量，以及解決所提出問題的情況進(jìn)行分層評分】