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已知正四棱錐的各條棱都是a. (1)求底面一邊到相對(duì)側(cè)面的距離, (2)求證:相鄰兩側(cè)面所成二面角等于側(cè)面和底面所成二面角的2倍, (3)求相對(duì)兩側(cè)面所成二面角的余弦值. (1)解: 作PO⊥底面ABCD.垂足是O.取BC.AD.PB的中點(diǎn)F.E.M.連結(jié)PE.PF.EF.OM.MC.MA. ∵AD∥BC.∴AD∥平面PBC.AD到平面PBC的距離就是E點(diǎn)到平面PBC的距離.∵BC⊥平面PEF.∴平面PEF⊥平面PBC.∴E點(diǎn)到交線PF的距離就是E點(diǎn)到平面PBC的距離d. ∴d·PF＝PO·EF,d·a＝a·,∴d＝a. (2)在ΔACM中.∵AM＝MC＝a,AD＝OC,∴OM是∠AMC的平分線.又AM⊥PB.CM⊥PB.∴∠AMC是二面角A-PB-C的平面角.∠OFP是二面角P-BC-AD的平面角. 又∵AO＝PO＝a,AM＝PF＝a,∴RtΔPOF≌RtΔAMO. ∴∠AMC＝2∠PFO.∴命題成立. (3)設(shè)相對(duì)兩側(cè)面PBC.PAD的交線是l.∵AD∥BC.∴AD∥平面PBC.∴AD∥l.∵BC⊥平面PEF.∴l(xiāng)⊥平面PEF.∴∠EPF就是所求二面角的平面角. ∴cos∠EPF＝＝. 【查看更多】

 

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