題目列表(包括答案和解析)
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標原點）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關系，以及、和
之間的等量關系；
（2）求證：
（
）；
（3）設
，對所有，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當
時，可求得
，命題成立；②假設當
時，命題成立，即有
則當
時，由歸納假設及
，
得
第三問
．………………………2分
因為函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，所以當時，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當時，可求得，命題成立；
……………2分
②假設當時，命題成立，即有，……………………1分
則當時，由歸納假設及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當時，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
請先閱讀：
在等式
（
）的兩邊求導，得：
，
由求導法則，得
，化簡得等式：
。
（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式
（，正整數(shù)
），證明：
。
（2）對于正整數(shù)
，求證：
（i）
； （ii）
； （iii）
。
一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計劃在當日每小時向蓄水池注入水2千噸，且每
小時通過管道向所管轄區(qū)域供水
千噸．
（1）多少小時后，蓄水池存水量最少？
（2）當蓄水池存水量少于3千噸時，供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象，那么當日出現(xiàn)這種情況的時間有多長？
【解析】第一問中（1）設小時后，蓄水池有水
千噸．依題意，
當
，即
（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸
第二問依題意，
解得：
解：（1）設小時后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分
依題意，…………………………………………4分
當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分
（2）依題意， ………………………………………………3分
解得：． …………………………………………………………………3分
所以，當天有8小時會出現(xiàn)供水緊張的情況
甲船由
島出發(fā)向北偏東
的方向作勻速直線航行，速度為
海里∕小時，在甲船從島出發(fā)的同時，乙船從島正南
海里處的
島出發(fā)，朝北偏東
的方向作勻速直線航行，速度為
海里∕小時。
⑴求出發(fā)
小時時兩船相距多少海里？
⑴ 兩船出發(fā)后多長時間相距最近？最近距離為多少海里？
【解析】第一問中根據(jù)時間得到出發(fā)小時時兩船相距的海里為
第二問設時間為t，則
利用二次函數(shù)求得最值，
解：⑴依題意有：兩船相距
答：出發(fā)3小時時兩船相距
海里
⑵兩船出發(fā)后t小時時相距最近，即
即當t=4時兩船最近，最近距離為
海里。
在
中，已知
，面積
，
（1）求的三邊的長；
（2）設
是（含邊界）內(nèi)的一點，到三邊
的距離分別是
①寫出所滿足的等量關系；
②利用線性規(guī)劃相關知識求出
的取值范圍.
【解析】第一問中利用設中角
所對邊分別為
由得
又由
得
即
又由得即
又
又
得
即的三邊長
第二問中，①
得
故
②
令
依題意有
作圖，然后結合區(qū)域得到最值。
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