題目列表(包括答案和解析)
求圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,－1)，與直線x＋y＝1相切的圓的方程.
【解析】利用圓心和半徑表示圓的方程，首先
設(shè)圓心為S，則KSA＝1,∴SA的方程為：y＋1＝x－2，即y＝x－3， ………4分
和y＝－2x聯(lián)立解得x＝1,y＝－2，即圓心(1,－2)
∴r＝
＝
,
故所求圓的方程為：
＋
＝2
解：法一：
設(shè)圓心為S，則KSA＝1,∴SA的方程為：y＋1＝x－2，即y＝x－3， ………4分
和y＝－2x聯(lián)立解得x＝1,y＝－2，即圓心(1,－2) ……………………8分
∴r＝＝,
………………………10分
故所求圓的方程為：＋＝2
………………………12分
法二：由條件設(shè)所求圓的方程為：
＋
＝
, ………………………6分
解得a＝1,b＝－2, ＝2
………………………10分
所求圓的方程為：＋＝2
………………………12分
其它方法相應(yīng)給分
已知數(shù)列
是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，
為其前n項(xiàng)和，且滿足
,
．?dāng)?shù)列
滿足
,，
為數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
和數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）若對(duì)任意的，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)
，使得
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】第一問(wèn)利用在
中，令n=1，n=2，
得
即
解得
，，
[
又時(shí)，
滿足，
，
第二問(wèn)，①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
此時(shí)
需滿足
．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．
此時(shí) 需滿足
．
第三問(wèn)
，
若
成等比數(shù)列，則
，
即． 
由，可得
，即
，
． 
（1）（法一）在中，令n=1，n=2，
得 即
解得，， [
又時(shí)，滿足，
，
．
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
此時(shí) 需滿足．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．
此時(shí) 需滿足．
綜合①、②可得的取值范圍是．
（3），
若成等比數(shù)列，則，
即．
由，可得，即，
．
又
，且m>1，所以m=2，此時(shí)n=12．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，
n=12時(shí)，數(shù)列
中的成等比數(shù)列
已知函數(shù)
的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問(wèn)當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增。∴在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無(wú)解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
某港口的水深
（米）是時(shí)間
（
，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是每天時(shí)間與水深的關(guān)系表：
|
|
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
|
|
10 |
13 |
9.9 |
7 |
10 |
13 |
10.1 |
7 |
10 |
經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)， 
可近似的看成是函數(shù)
，（本小題滿分14分）
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的解析式。
（2）若船舶航行時(shí)，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時(shí)間可以安全的進(jìn)出該港？
【解析】第一問(wèn)由表中數(shù)據(jù)可以看到：水深最大值為13，最小值為7，，
∴A+b=13, -A+b=7 解得 A=3, b=10
第二問(wèn)要想船舶安全，必須深度
，即
∴
解得：
得到結(jié)論。
已知
，函數(shù)
（1）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
在點(diǎn)(1，
)的切線方程；
(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使
>g(xo)成立，求正實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）中
，那么當(dāng)時(shí)，
又 
所以函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對(duì)a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設(shè)
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當(dāng)時(shí)， 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當(dāng)
即時(shí)
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當(dāng)
即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無(wú)極小值。
綜上所述 時(shí)，極大值為，無(wú)極小值
時(shí) 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設(shè)，
對(duì)
求導(dǎo)，得
∵
， 
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù)，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（
，
）
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單調(diào)遞減
）
