題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
；
（1）若函數(shù)
在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍。
（2）若函數(shù)
，若在[1，e]上至少存在一個x的值使
成立，求實數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中，利用導數(shù)
，因為在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以
內(nèi)滿足
恒成立，得到結(jié)論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使
成立，等價于不等式
在[1，e]上有解，轉(zhuǎn)換為不等式有解來解答即可。
解：（1），
因為在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以 內(nèi)滿足恒成立，即
恒成立，
亦即
，
即可 又
當且僅當
，即x=1時取等號，
在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實數(shù)k的取值范圍是
.
（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設(shè)
上的增函數(shù)，
依題意需
實數(shù)k的取值范圍是
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對任意 
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中，利用當
時，
．
因為切點為（
），
則
，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當時，．
，
因為切點為（），
則，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因為，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當
時，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當
時，令
，對稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當
，即
時，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當
時，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當
時
單調(diào)遞減；當
時
單調(diào)遞增，故當
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當且僅當
. �、�
令
則
當
時，
單調(diào)遞增；當
時，
單調(diào)遞減.
故當
時，
取最大值
.因此，當且僅當
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當
時，
單調(diào)遞減；當
時，
單調(diào)遞增.故當
，
即
從而
，
又
所以
因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
| a | 2 1 |
| a | 2 2 |
| 1． |
| 2 |
| a | 2 1 |
| a | •2 2 |
| 1 |
| 2 |
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22，因為對一切實數(shù)x，f（x）≥O恒成立，所以△=4-4×2（a12+a22）≤0，即
根據(jù)上述證明方法，若n個實數(shù)a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=1時，你能得到的不等式為： ．國際學校優(yōu)選 - 練習冊列表 - 試題列表
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