題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結(jié)合導數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)
，若對任意
，
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用
的定義域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中，若對任意
不等式
恒成立，問題等價于
只需研究最值即可。
解： （I）的定義域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是 ．．．．．．．．4分
（II）若對任意不等式恒成立，
問題等價于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點，
故也是最小值點，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
當b<1時，
；
當
時，
；
當b>2時，
；
．．．．．．．．．．．．8分
問題等價于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以實數(shù)b的取值范圍是
已知函數(shù)
，
（1）求函數(shù)
的定義域；
（2）求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值；
（3）已知
，命題p：關(guān)于x的不等式
對函數(shù)的定義域上的任意
恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)
是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．
【解析】第一問中，利用由
即
第二問中，
，
得：
，
第三問中，由在函數(shù)的定義域上
的任意，
，當且僅當
時等號成立。當命題p為真時，
；而命題q為真時：指數(shù)函數(shù)
．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時；當命題p為假，命題q為真時分為兩種情況討論即可 。
解：（1）由
即
（2）
，得：
，
（3）由在函數(shù)的定義域上
的任意，
，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數(shù)函數(shù)．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時，
當命題p為假，命題q為真時，
，
所以
某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)
與時刻
(時) 的關(guān)系為
，其中
是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且
．
（1）令
, 
，寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并選擇其中一種情形進行證明；
（2）若用每天
的最大值作為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作
，求；
（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標？
【解析】第一問利用定義法求證單調(diào)性，并判定結(jié)論。
第二問（2）由函數(shù)的單調(diào)性知
，
∴
，即t的取值范圍是
．
當
時，記
則
∵
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
第三問因為當且僅當
時，
.
故當
時不超標，當
時超標．
如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|＝3米，|AD|＝2米，
（I）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內(nèi)？
（II）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最�。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．
（Ⅲ）若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最��？并求出最小面積．
【解析】本題主要考查函數(shù)的應用，導數(shù)及均值不等式的應用等，考查學生分析問題和解決問題的能力 第一問要利用相似比得到結(jié)論。
（I）由SAMPN > 32 得
> 32 ，
∵x >2，∴
，即（3x－8）（x－8）> 0
∴2<X<8/3，即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8，+
)
第二問， 
當且僅當
(3)令
∴當x
> 4，y′> 0，即函數(shù)y＝
在（4，＋∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y＝在[6，＋∞]上也單調(diào)遞增．
∴當x＝6時y＝取得最小值，即SAMPN取得最小值27（平方米）．
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單調(diào)遞減