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已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對任意，，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問中，若對任意不等式恒成立，問題等價于只需研究最值即可。

解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分

（II）若對任意不等式恒成立，

問題等價于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個極小值是唯一的極值點(diǎn)，

故也是最小值點(diǎn)，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

當(dāng)b<1時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)b>2時，；             ．．．．．．．．．．．．8分

問題等價于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是 

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當(dāng)時，有，當(dāng)時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當(dāng)時，恒有；當(dāng)時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)
（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間的最小值；（Ⅱ）討論 與 的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得 對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在請說明理由。

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的值．

【解析】第一問，   

當(dāng)0<x<2時，，當(dāng)x>2時，，

要使在(a,a+1)上遞增，必須

如使在(a,a+1)上遞增，必須，即

由上得出，當(dāng)時，在上均為增函數(shù)

（Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

設(shè)  （x>0）

隨x變化如下表

由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，

當(dāng)m=-24-16ln2時，方程有唯一解得到結(jié)論。

（Ⅰ）解： 

當(dāng)0<x<2時，，當(dāng)x>2時，，

要使在(a,a+1)上遞增，必須

如使在(a,a+1)上遞增，必須，即

由上得出，當(dāng)時，在上均為增函數(shù)  ……………6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

設(shè)  （x>0）

隨x變化如下表

由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，

當(dāng)m=-24-16ln2時，方程有唯一解

（本題滿分14分）

   已知函數(shù)。

   （1）求的最大值及取得最大值時的的值；

   （2）求在上的單調(diào)增區(qū)間。