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題目列表(包括答案和解析)

（本小題12分）本某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對400名高一學(xué)生的一周課外體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示：

鍛煉時間（分鐘）

人數(shù)

40

60

80

100

80

40

（1）完成頻率分布直方圖，并估計該中學(xué)高一學(xué)生每周參加

課外體育鍛煉時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的組中值作代表）；

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容量為20的樣本，

①應(yīng)抽取多少名課外體育鍛煉時間為分鐘的學(xué)生；

②若從①中被抽取的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生課外體育鍛煉時間均為分鐘的概率。

 

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（本小題12分）如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？

 

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（本小題12分）某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得x∈[10,1000]萬元的投資收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.

（Ⅰ）若建立函數(shù)f(x)模型制定獎勵方案，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵函數(shù)f(x)模型

的基本要求；

（Ⅱ）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：(i) y＝；(ii) y＝4lgx－3.試分析這兩個函數(shù)模型

是否符合公司要求？

 

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（本小題12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當(dāng)時，車流速度v是車流密度的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）

 

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（本小題12分）

一海輪以20海里/小時的速度向正東航行，它在A點(diǎn)時測得燈塔P在船的北偏東60°方向上，2小時后船到達(dá)B點(diǎn)時測得燈塔P在船的北偏東45°方向上。求：

①  船在B點(diǎn)時與燈塔P的距離。

②  已知以點(diǎn)P為圓心，55海里為半徑的圓形水城內(nèi)有暗礁，那么這船繼續(xù)向正東航行，有無觸礁的危險？

 

 

 

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一、1 B     2 D    3 A   4 D     5 D     6 B   

7 A     8  A   9 C   10 D    11 B    12 B

   二、13、3      14、-160    15、     16、  

   三、17、解: (1)     …… 3分

     的最小正周期為                        ………………… 5分

(2) ,          …………………  7分     

                        ………………… 10分

                                ………………… 11分

 當(dāng)時,函數(shù)的最大值為1,最小值 ………… 12分

 18、（I）解：設(shè)這箱產(chǎn)品被用戶拒絕接收事件為A,被接收為，則由對立事件概率公式

   得：

即這箱產(chǎn)品被用戶拒絕接收的概率為           …………   6分

（II）                

                                   ………… 10分

1

2

3

P

                                                          …………11分

∴ E=                                  …………12分

19、解法一：

（Ⅰ）連結(jié)B1C交BC于O，則O是BC的中點(diǎn)，連結(jié)DO。

∵在△AC中，O、D均為中點(diǎn)，

∴A∥DO   …………………………2分

∵A平面BD，DO平面BD，

∴A∥平面BD�！�4分

（Ⅱ）設(shè)正三棱柱底面邊長為2，則DC = 1。

    ∵∠DC = 60°，∴C= 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC

作EF⊥B于F，連結(jié)DF，則 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………………………………8分

在Rt△DEC中，DE=

在Rt△BFE中，EF = BE?sin

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－B－C的大小為arctan………………12分

解法二：以AC的中D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = 。

     則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），

（1，0）， ，

（Ⅰ）連結(jié)C交B于O是C的中點(diǎn)，連結(jié)DO，則                  O.       =

∵A平面BD，

∴A∥平面BD.……………………………………………………………4分

（Ⅱ）=（-1，0，），

       設(shè)平面BD的法向量為n = （ x , y , z ），則

       即  則有= 0令z = 1

則n = （，0，1）…………………………………………………………8分

       設(shè)平面BC的法向量為m = ( x′ ,y′，z′)

 

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        1. <li id="gu8ta"><legend id="gu8ta"><ruby id="gu8ta"></ruby></legend></li>
            
 
            
  
  
            
   
            
    
    
            
    
            ′
            ′
            ′
            ′
                  令y = -1，解得m = （，-1，0）
                  二面角D ―B―C的余弦值為cos＜n , m＞＝
            ∴二面角D―B―C的大小為arc cos         
…………１２分
            20、解: 對函數(shù)求導(dǎo)得:
……………2分
            (Ⅰ)當(dāng)時,                   
            令解得
或
              解得
            所以, 單調(diào)增區(qū)間為，,
            單調(diào)減區(qū)間為(-1,1)           
                        ……………5分
            (Ⅱ) 令,即,解得或     ………… 6分
            由時,列表得：
             
            x
            1
            +
            0
            －
            0
            +
            極大值
            極小值
            ……………8分
            對于時，因為,所以，
            ∴>0                                                   
…………  
10 分
            對于時，由表可知函數(shù)在時取得最小值
            所以，當(dāng)時，                              

            由題意，不等式對恒成立，
            所以得，解得                         
……………12分
            21、解： （I）依題意知,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線為其相應(yīng)準(zhǔn)線,
            離心率為的橢圓
            設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,
            又，，∴點(diǎn)在x軸上,且,則3，
            解之得：,     
            ∴坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓的對稱中心  
            ∴動點(diǎn)M的軌跡方程為：                 …………    4分
            （II）設(shè),設(shè)直線的方程為（－２〈n〈2）,代入得
                                 ………… 5分
            ,  
                 …………  6分
            ，K（2，0）,,
            ,
              
            解得:
(舍)      ∴ 直線EF在X軸上的截距為
   …………8分
            （Ⅲ）設(shè),由知,  
            直線的斜率為                …………    10分
            當(dāng)時,;
            當(dāng)時,,
            時取“=”）或時取“=”），
                                            

            綜上所述                         …………  12分  
            22、（I）解：方程的兩個根為，，
            當(dāng)時，，所以；
            當(dāng)時，，，所以；
            當(dāng)時，，，所以時；
            當(dāng)時，，，所以．    …………  4分
            （II）解：
            ．            
           …………  8分
            （III）證明：，
            所以，
            ．          
            …………  9分
            當(dāng)時，
            ，
                                                    
………… 
11分
            同時，
            ．                                   
………… 
13分
            綜上，當(dāng)時，．                    
………… 
14分