題目列表(包括答案和解析)
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點(diǎn)，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點(diǎn)，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關(guān)系，以及、和
之間的等量關(guān)系；
（2）求證：
（
）；
（3）設(shè)
，對(duì)所有，
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當(dāng)
時(shí)，可求得
，命題成立；②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，命題成立，即有
則當(dāng)
時(shí)，由歸納假設(shè)及
，
得
第三問
．………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；
……………2分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分
則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當(dāng)時(shí)，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對(duì)所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
是拋物線
的焦點(diǎn)，
是拋物線
上的
個(gè)不同的點(diǎn)（
）.
時(shí)，試寫出拋物線
上的三個(gè)定點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo)，從而使得
；
時(shí)，若
，
；時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：，則.”，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；已知函數(shù)
，
（1）求函數(shù)
的定義域；
（2）求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值；
（3）已知
，命題p：關(guān)于x的不等式
對(duì)函數(shù)的定義域上的任意
恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)
是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】第一問中，利用由
即
第二問中，
，
得：
，
第三問中，由在函數(shù)的定義域上
的任意，
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)命題p為真時(shí)，
；而命題q為真時(shí)：指數(shù)函數(shù)
．因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以
當(dāng)命題p為真，命題q為假時(shí)；當(dāng)命題p為假，命題q為真時(shí)分為兩種情況討論即可 。
解：（1）由
即
（2）
，得：
，
（3）由在函數(shù)的定義域上
的任意，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)命題p為真時(shí)，；而命題q為真時(shí)：指數(shù)函數(shù)．因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以
當(dāng)命題p為真，命題q為假時(shí)，
當(dāng)命題p為假，命題q為真時(shí)，
，
所以
在數(shù)列
中，
，其中
，對(duì)任意
都有：
；（1）求數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
，假設(shè)
，試求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
；
（3）若
對(duì)一切
恒成立，求
的取值范圍。
【解析】第一問中利用）
同理得到
第二問中，由題意得到：
累加法得到
第三問中，利用恒成立，轉(zhuǎn)化為最小值大于等于即可。得到范圍。
（1）同理得到
……2分
（2）由題意得到：
又
……5分
……8分
（3）
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
（2）若不等式
對(duì)任意
恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于
，利用當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對(duì)任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時(shí)，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時(shí)，不等式
成立，
當(dāng)
時(shí)，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項(xiàng)公式
， …………10分
， …………12分
所以對(duì)
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
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