題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)滿足f(x)＋
(0)－e－x＝－1，函數g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是區(qū)間[－1，1]上的減函數．
①當x≥0時，曲線y＝f(x)在點M(t，f(t))的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最大值；
②若g(x)＜t2＋λt＋1在x∈[－1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
③設函數h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h(x)在區(qū)間[e－m－m，e2m－m]內的零點個數，并作出證明．
已知函數f(x)滿足f(x)＋
(0)－e－x＝－1，函數g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是區(qū)間[－1，1]上的減函數．
(1)當x≥0時，曲線y＝f(x)在點M(t，f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最大值；
(2)若g(x)＜t2＋λt＋1在x∈[－1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
(3)設函數h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h(x)在區(qū)間[e－m－m，e2m－m]內的零點個數，并作出證明．
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間和最小值;
(2)當b＞0時，求證:bb≥
(其中e=2.718 28…是自然對數的底數);
(3)若a＞0,b＞0，證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導函數,F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函數.
(1)求
和c的值.
(2)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間(用字母a表示).
(3)當a=2時,設0＜t＜4且t≠2,曲線y=f(x)在點A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.
1.（1）因為
，所以
又
是圓O的直徑，所以
又因為
（弦切角等于同弧所對圓周角）
所以
所以
又因為
，所以
相似
所以
，即
（2）因為
，所以
，
因為
，所以
由（1）知：
。所以
所以
，即圓的直徑
又因為
，即
解得
2.依題設有：
令
，則
3.將極坐標系內的問題轉化為直角坐標系內的問題
點
的直角坐標分別為
故
是以
為斜邊的等腰直角三角形，
進而易知圓心為
，半徑為
，圓的直角坐標方程為
，即
將
代入上述方程，得
，即
4.假設
，因為
，所以
。
又由
，則
，
所以
，這與題設矛盾
又若
，這與矛盾
綜上可知，必有
成立
同理可證
也成立
命題成立
5. 解：由a1=S1,k=
.下面用數學歸納法進行證明.
1°.當n=1時，命題顯然成立；
2°.假設當n=k(k
N*)時，命題成立,
即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,
則n=k+1時，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）
=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）
即命題對n=k+1.成立
由1°, 2°，命題對任意的正整數n成立.
6.（1）因為
，
，
，所以
故事件A與B不獨立。
（2）因為
所以
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