題目列表(包括答案和解析)
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系下，已知圓O：
和直線
，
（1）求圓O和直線
的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數(shù)
和
，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍．
和直線
，
的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
和
，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍．C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B錯；
＋
＝
＝
≥4，故A錯；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D錯．故選C.
．本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓E：
，焦點為
、
，雙曲線G：
的頂點是該橢
圓的焦點，設(shè)
是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線
、
與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形
的周長等于
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為.
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線、的斜率分別為
和
，探求和
的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)
，使得
恒成立？
若存在，試求出的值；若不存在， 請說明理由．
．甲、乙兩人練習(xí)射擊, 命中目標(biāo)的概率分別為
和
, 甲、乙兩人各射擊一次,有下列說法: ①
目標(biāo)恰好被命中一次的概率為
；② 目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為
；
③ 目標(biāo)被命中的概率為
； ④ 目標(biāo)被命中的概率為 
。以上說法正確的序號依次是
A.②③ B.①②③ C.②④ D.①③
一．選擇題：DBBCB BCCCC
解析：1：因為
=(2 -││)+ 
,由選擇支知││<2,所以的實部為正數(shù),虛部為1,根據(jù)這個隱含條件,(A),(B),(C)均可篩去,所以選(D).
2：先將周期最小的選項（A）的周期T=
代入
檢驗，不成立則排除(A)；再檢驗（B）成立. 所以選(B).
3：∵
∴可取
代入四個選項驗證，發(fā)現(xiàn)B錯誤，∴應(yīng)選(B).
4：“
的展開式中各項系數(shù)之和為
由通項公式Tr+1=
=
，
令7－=－3，解得r=6，此時T7= ，故選C
5:作兩直線的圖象,從圖中可以看出:
直線
的傾斜角的取值范圍應(yīng)選(B).
6：取特殊數(shù)列
=
，排除(A)、(C)、(D). ∴選(B).
7：如圖所示,
作
∴柱體體積
故選C.
8:由圖象可知,x=1時
=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期T=8，可排除(B).
∴應(yīng)選(C).
9：利用橢圓的定義可得
故離心率
故選C。
10：設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為：400
5%=20元，5005%+20010%=45元，可排除
、
、
.故選
.
二．填空題：11、2； 12、a>0且
；13、
；14、
；15、7；
解析：11：因為包含了
任意一個元素
的三元素集合共
個，所以在
中，每個元素都出現(xiàn)了次，所以
，所以
。
12：由已知可畫出下圖，符合題設(shè)，故a>0且。
13：設(shè)P(x，y)，則當(dāng)
時，點P的軌跡為
，由此可得點P的橫坐標(biāo)
。
又當(dāng)P在x軸上時，
，點P在y軸上時，
為鈍角，由此可得點P橫坐標(biāo)的取值范圍是：；
14．解：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線
和
分別表示圓
和直線
，易知
＝
15．解： 
由圓的性質(zhì)PA
=PC?PB，得，PB=12，連接OA并反向延長
交圓于點E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB
因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7
三．解答題：
16.解：（Ⅰ）∵
∴
----①,
----②
由①得
------③
在△ABC中,由正弦定理得
=
,設(shè)＝
則
,代入③得
∵ 
∴
∴
,∵
∴
……………………6分
(Ⅱ) ∵
,由余弦定理得
,--④
由②得
-⑤ 由④⑤得
，∴
=
. ……………………………12分
17.解：設(shè)該觀眾先答A題所獲獎金為
元，先答B(yǎng)題所獲獎金為
元，………………………1分
依題意可得可能取的值為：0, 
，3， 的可能取值為：0，2，3
………………………2分
∵
，
，
，
∴
，
………………………6分
∵
，
， 
∴
………………………10分
∵
∴
，即
∴該觀眾應(yīng)先回答B(yǎng)題所獲獎金的期望較大． ……………………………12分
18.解：（Ⅰ）設(shè)
,由
得
，解得
或
，若
則
與
矛盾，所以不合舍去。
即
。---------------------------------------------------------------------------6
（Ⅱ）圓
即
，其圓心為C（3，－1），半徑
，
∴直線OB的方程為
，-----------------------------------------------------------------10
設(shè)圓心C（3，－1）關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（a，b），則
解得：
，則所求的圓的方程為
。-----------------------------14
19.(Ⅰ)證明：∵對任意的
①
令
得
②…………1分
令
得
……………………2分
∴
由②得
∴函數(shù)
為奇函數(shù)………………………………3分
(Ⅱ)證明:（1）當(dāng)n＝1時等式顯然成立
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k
）時等式成立，即
，…………4分
則當(dāng)n＝k＋1時有
，由①得
………………6分
∵ ∴
∴當(dāng)n＝k＋1時，等式成立。
綜（1）、（2）知對任意的
,
成立。………………8分
(Ⅲ)解:設(shè)
，因函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合①得
＝
，……………………9分
∵
又∵當(dāng)
時，
∴
，∴
∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減…………………………………………12分
∴
由（2）的結(jié)論得
，
∵
，∴＝－2n
∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴
∴
，＝2n�！�14分
20.解：(1)如圖，將側(cè)面BB
設(shè)棱柱的棱長為，則B,
∵CD∥AA1 ∴D為CC1的中點，……………………………2分
在Rt△A1AB2中，由勾股定理得
，
即
解得
，……………………4分
∵
∴
……………………………………6分
(2)設(shè)A1B與AB1的交點為O,連結(jié)BB2,OD，則
……………………………7分
∵
平面
，
平面 ∴
平面，
即在平面A1BD內(nèi)存在過點D的直線與平面ABC平行 ……………………………9分
(3)連結(jié)AD,B1D ∵
≌
≌
∴
∴
……………………………11分
∵
∴
平面A1ABB1 ……………………………13分
又∵
平面A1BD ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1 ……………………………………14分
21.解：（Ⅰ）
…………………………………………1分
由
得
， ………………………………………………2分
又
得
……………………………………………………3分
（Ⅱ）k＝
，
對任意的
，即
對任意的恒成立……4分
等價于
對任意的恒成立�！�5分
令g(x)＝
，h(x)＝
，
則
， …………………………………………6分
，當(dāng)且僅當(dāng)
時“＝”成立，
…………7分
h(x)＝在（0，1）上為增函數(shù)，h(x)max＜2……………………………8分
……………………………………………………………………9分
（Ⅲ）設(shè)
則
＝
……10分
即
，對
恒成立…………………………11分
，對
恒成立
即
對恒成立…………………………13分
解得
……………………………………………………14分
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