題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，—2），點C滿足
，其中
，且
，
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與雙曲線
（a>0，b>0）相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：
為定值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于
，求雙曲線實軸長的取值范圍。
（本小題滿分14分）
設函數(shù)
，其中
．
( I )若函數(shù)
圖象恒過定點P，且點P在
的圖象上，求m的值；
(Ⅱ)當
時，設
，討論
的單調(diào)性；
(Ⅲ)在(I)的條件下，設
，曲線
上是否存在兩點P、Q，
使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．
（本小題滿分14分）如圖，橢圓
的焦點在x軸上，左右頂點分別為A1，A，上頂點B，拋物線C1，C2分別以A1，B為焦點，其頂點均為坐標原點O，C1與C2相交于直線
上一點P.
（1）求橢圓C及拋物線C1，C2的方程；
（2）若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點M，N，已知點
，求
的最小值.
（本小題滿分14分）
設函數(shù)
，其中
．
( I )若函數(shù)
圖象恒過定點P，且點P在
的圖象上，求m的值；
(Ⅱ)當
時，設
，討論
的單調(diào)性；
(Ⅲ)在(I)的條件下，設
，曲線
上是否存在兩點P、Q，
使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．
（本小題滿分14分）
已知圓O:
交
軸于A，B兩點,曲線C是以
為長軸,離心率為
的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點,連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交直線X＝-2于點Q.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；
(Ⅱ)若點P的坐標為(1,1),求證:直線PQ與圓
相切；
(Ⅲ)試探究:當點P在圓O上運動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由.
一．選擇題：DBBCB BCCCC
解析：1：因為
=(2 -││)+ 
,由選擇支知││<2,所以的實部為正數(shù),虛部為1,根據(jù)這個隱含條件,(A),(B),(C)均可篩去,所以選(D).
2：先將周期最小的選項（A）的周期T=
代入
檢驗，不成立則排除(A)；再檢驗（B）成立. 所以選(B).
3：∵
∴可取
代入四個選項驗證，發(fā)現(xiàn)B錯誤，∴應選(B).
4：“
的展開式中各項系數(shù)之和為
由通項公式Tr+1=
=
，
令7－=－3，解得r=6，此時T7= ，故選C
5:作兩直線的圖象,從圖中可以看出:
直線
的傾斜角的取值范圍應選(B).
6：取特殊數(shù)列
=
，排除(A)、(C)、(D). ∴選(B).
7：如圖所示,
作
∴柱體體積
故選C.
8:由圖象可知,x=1時
=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期T=8，可排除(B).
∴應選(C).
9：利用橢圓的定義可得
故離心率
故選C。
10：設某人當月工資為1200元或1500元，則其應納稅款分別為：400
5%=20元，5005%+20010%=45元，可排除
、
、
.故選
.
二．填空題：11、2； 12、a>0且
；13、
；14、
；15、7；
解析：11：因為包含了
任意一個元素
的三元素集合共
個，所以在
中，每個元素都出現(xiàn)了次，所以
，所以
。
12：由已知可畫出下圖，符合題設，故a>0且。
13：設P(x，y)，則當
時，點P的軌跡為
，由此可得點P的橫坐標
。
又當P在x軸上時，
，點P在y軸上時，
為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是：；
14．解：在平面直角坐標系中，曲線
和
分別表示圓
和直線
，易知
＝
15．解： 
由圓的性質(zhì)PA
=PC?PB，得，PB=12，連接OA并反向延長
交圓于點E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB
因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7
三．解答題：
16.解：（Ⅰ）∵
∴
----①,
----②
由①得
------③
在△ABC中,由正弦定理得
=
,設＝
則
,代入③得
∵ 
∴
∴
,∵
∴
……………………6分
(Ⅱ) ∵
,由余弦定理得
,--④
由②得
-⑤ 由④⑤得
，∴
=
. ……………………………12分
17.解：設該觀眾先答A題所獲獎金為
元，先答B(yǎng)題所獲獎金為
元，………………………1分
依題意可得可能取的值為：0, 
，3， 的可能取值為：0，2，3
………………………2分
∵
，
，
，
∴
，
………………………6分
∵
，
， 
∴
………………………10分
∵
∴
，即
∴該觀眾應先回答B(yǎng)題所獲獎金的期望較大． ……………………………12分
18.解：（Ⅰ）設
,由
得
，解得
或
，若
則
與
矛盾，所以不合舍去。
即
。---------------------------------------------------------------------------6
（Ⅱ）圓
即
，其圓心為C（3，－1），半徑
，
∴直線OB的方程為
，-----------------------------------------------------------------10
設圓心C（3，－1）關(guān)于直線的對稱點的坐標為（a，b），則
解得：
，則所求的圓的方程為
。-----------------------------14
19.(Ⅰ)證明：∵對任意的
①
令
得
②…………1分
令
得
……………………2分
∴
由②得
∴函數(shù)
為奇函數(shù)………………………………3分
(Ⅱ)證明:（1）當n＝1時等式顯然成立
（2）假設當n＝k（k
）時等式成立，即
，…………4分
則當n＝k＋1時有
，由①得
………………6分
∵ ∴
∴當n＝k＋1時，等式成立。
綜（1）、（2）知對任意的
,
成立�！�8分
(Ⅲ)解:設
，因函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合①得
＝
，……………………9分
∵
又∵當
時，
∴
，∴
∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減…………………………………………12分
∴
由（2）的結(jié)論得
，
∵
，∴＝－2n
∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴
∴
，＝2n。……………………14分
20.解：(1)如圖，將側(cè)面BB
設棱柱的棱長為，則B,
∵CD∥AA1 ∴D為CC1的中點，……………………………2分
在Rt△A1AB2中，由勾股定理得
，
即
解得
，……………………4分
∵
∴
……………………………………6分
(2)設A1B與AB1的交點為O,連結(jié)BB2,OD，則
……………………………7分
∵
平面
，
平面 ∴
平面，
即在平面A1BD內(nèi)存在過點D的直線與平面ABC平行 ……………………………9分
(3)連結(jié)AD,B1D ∵
≌
≌
∴
∴
……………………………11分
∵
∴
平面A1ABB1 ……………………………13分
又∵
平面A1BD ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1 ……………………………………14分
21.解：（Ⅰ）
…………………………………………1分
由
得
， ………………………………………………2分
又
得
……………………………………………………3分
（Ⅱ）k＝
，
對任意的
，即
對任意的恒成立……4分
等價于
對任意的恒成立�！�5分
令g(x)＝
，h(x)＝
，
則
， …………………………………………6分
，當且僅當
時“＝”成立，
…………7分
h(x)＝在（0，1）上為增函數(shù)，h(x)max＜2……………………………8分
……………………………………………………………………9分
（Ⅲ）設
則
＝
……10分
即
，對
恒成立…………………………11分
，對
恒成立
即
對恒成立…………………………13分
解得
……………………………………………………14分
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