已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的有≤成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

由，得

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時(shí)，取，有，故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，令，即

令，得

①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時(shí)，

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

綜上，，

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

(1)當(dāng)n=3時(shí),求捕魚收益的期望值;

(2)試求n的值,使這次遠(yuǎn)洋捕魚收益的期望值達(dá)到最大.

某遠(yuǎn)洋捕漁船到遠(yuǎn)海捕魚，由于遠(yuǎn)海漁業(yè)資源豐富，每撒一次網(wǎng)都有w萬元的收益；同時(shí)，又由于遠(yuǎn)海風(fēng)云未測(cè)，每撒一次網(wǎng)存在遭遇沉船事故的可能，其概率為（常數(shù)k為大于l的正整數(shù)）．假定，捕魚船噸位很大，可以裝下幾次撒網(wǎng)所捕的魚，而在每次撒網(wǎng)時(shí)，發(fā)生不發(fā)生沉船事故與前一次撒網(wǎng)無關(guān)，若發(fā)生沉船事故，則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在，又已知船長(zhǎng)計(jì)劃在此處撒網(wǎng)n次．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求捕魚收益的期望值
（2）試求n的值，使這次遠(yuǎn)洋捕魚收益的期望值達(dá)到最大．