題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點(diǎn)A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
一、選擇題：1、A2、A3、B4、B5、C6、D7、B8、D9、D10、A
二、填空題：11、1000
12、
13、三條側(cè)棱
、
、
兩兩互相垂直的三棱錐
中，
，則此三棱錐的外接球半徑為
14、（1）8 �。�2）
三、解答題：
15、（1）∵
， ∴
，
………（2分）
∴
，（ 4分）
，………（6分）
∴
或
所求解集為
………（8分）
（2）∵
∴
………（10分）
∴
………（12分）
求
的周期為
，
遞增區(qū)間
16、解：解析：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且
，
，
(1)連結(jié)
，
。
由直三棱柱的性質(zhì)得
平面
，所以
，則
四邊形
為矩形．
由矩形性質(zhì)得，過
的中點(diǎn)
在
中，由中位線性質(zhì)，得
，
又
平面
，
平面，
所以
平面。 (6分)
(2)因?yàn)?sub>
平面，平面，所以
，
在正方形：中，
。
又因?yàn)?sub>
，所以
平面
．
由
，得
平面． (14分)
17、解：（1）由題意知
，
∴
由
，可得
(6分)
（2）當(dāng)
時，∵
∴
，兩式相減得
∴
為常數(shù)，
∴
，
，
，…，
成等比數(shù)列。
其中
，∴
………（12分）
18、解：設(shè)二次函數(shù)
，則
,解得
∴
將
代入上式：
而
對于，由已知，得：
,解得
∴
將代入：
而4月份的實(shí)際產(chǎn)量為萬件，相比之下，1.35比1.3更接近1.37.
∴選用函數(shù)作模型函數(shù)較好.
19、（1）
………（2分）
（1）由題意；
，解得
，
∴所求的解析式為
………（6分）
（2）由（1）可得
令
，得 
或
， ………（8分）
∴當(dāng)
時， 
，當(dāng)
時， 
，當(dāng)
時，
因此，當(dāng)時， 
有極大值
，………（8分）
當(dāng)時， 有極小值
，………（10分）
∴函數(shù)的圖象大致如圖。
由圖可知：
�！�14分）
20、解：（1）直線
與
軸垂直時與拋物線交于一點(diǎn),不滿足題意.
設(shè)直線的方程為
,代入
得,
設(shè)
、
、
則
,且
，即
或
.
∴
，
為
的中點(diǎn).
∴
∴
由或得
或
.由在
軸右側(cè)得.
軌跡
的方程為
.
（2）∵曲線
的方程為。
∴
∴ 
，
，
且
∴
又
，
，
∴
，
∴
，∴
∴
的取值范圍為
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