題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
，
．
（1）設
是函數(shù)
的一個零點，求
的值；
（2）求函數(shù)
的單調遞增區(qū)間．
【解析】第一問利用題設知
．因為
是函數(shù)的一個零點，所以
即
（
所以
第二問
當
，即
（）時，
函數(shù)
是增函數(shù)，
故函數(shù)
的單調遞增區(qū)間是
（）
設函數(shù)
．
(Ⅰ) 當
時，求
的單調區(qū)間；
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
，求
的值．
【解析】第一問中利用函數(shù)
的定義域為（0，2），
.
當a=1時，
所以的單調遞增區(qū)間為（0，
），單調遞減區(qū)間為（，2）；
第二問中，利用當
時，
>0, 即在上單調遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解：函數(shù)的定義域為（0，2），.
（1）當
時，所以的單調遞增區(qū)間為（0，），單調遞減區(qū)間為（，2）；
（2）當
時，
>0, 即在上單調遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)
與時刻
(時) 的關系為
，其中
是與氣象有關的參數(shù)，且
．
（1）令
, 
，寫出該函數(shù)的單調區(qū)間，并選擇其中一種情形進行證明；
（2）若用每天
的最大值作為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作
，求；
（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標？
【解析】第一問利用定義法求證單調性，并判定結論。
第二問（2）由函數(shù)的單調性知
，
∴
，即t的取值范圍是
．
當
時，記
則
∵
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
第三問因為當且僅當
時，
.
故當
時不超標，當
時超標．
（本小題滿分12分）已知函數(shù)
（I）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）當
時，不等式
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域為
，則
令
，
則
，
當
時，
；當
時，
在（0，1）上單調遞增，在
上單調遞減，
即當時，函數(shù)取得極大值. （3分）
函數(shù)在區(qū)間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當時，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當
時
單調遞減；當
時
單調遞增，故當
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當且僅當
. �、�
令
則
當
時，
單調遞增；當
時，
單調遞減.
故當
時，
取最大值
.因此，當且僅當
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當
時，
單調遞減；當
時，
單調遞增.故當
，
即
從而
，
又
所以
因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質進行分析判斷.
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