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已知斜率為k（k≠0）的直線l過拋物線C：y²=4x的焦點F且交拋物線于A、B兩點．設線段AB的中點為M．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）若-2＜k＜-1時，點M到直線l'：3x+4y-m=0（m為常數(shù)，m＜

1

3

）的距離總不小于

1

5

，求m的取值范圍．

已知斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C：

x2

4

+y2=1于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．
（1）記直線OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，當3（k₁+k₂）=8k時，證明：直線l過定點；
（2）若直線l過點D（1，0），設△OMD與△OND的面積比為t，當k2＜

5

12

時，求t的取值范圍．

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點，O為坐標原點，M為AB的中點．
（I）求證：直線AB與OM斜率的乘積等于e²-1（e為橢圓的離心率）；
（II）若2|

OM

|=|

AB

|且e∈(0，

2

2

)時，求a的取值范圍．