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如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝2．若二面角C－AB－C₁的大小為60°，則異面直線A₁B₁和BC₁所成角的余弦值為
 

A．

B．

C．

D．

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如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝2．若二面角C－AB－C₁的大小為60°，則異面直線A₁B₁和BC₁所成角的余弦值為
 

A．

B．

C．

D．

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一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）

1.C   2.A   3.D   4.D   5.D   6.B   7.C   8.D   9.C   10.A   11C.   12.C

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13.x∈R，x≤0    14.－15    15.－1    16.

三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）

17.(本小題滿分12分)

  解：（Ⅰ）由已知c＝1，則a²－b²＝1．

           又3a²＝4b ²，

故a²＝4，b²＝3.

           所求橢圓方程為．……………………………………………6分

（Ⅱ）由

           解得

           又，

    于是 ……………………………………12分

18.（本小題滿分12分）

    解：（Ⅰ）因為雙曲線的焦點在y軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為．

                  由題意，得解得a＝2，b＝1．

         所求雙曲線的方程為…………………………………………6分

       （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，－），F(xiàn)₂（0，）．

點F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為F₁′（－，0），F(xiàn)₂′（，0），又P（0，2），設(shè)橢圓方程為（m＞n＞0）．

          由橢圓定義，得2m=

因為m²－n²＝5，所以n²＝4．

所以橢圓的方程為.………………………………………12分

19.（本小題滿分12分）

    證明：如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，

則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）.

∵E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，

∴E（a，0，0），F(xiàn)（a，b，c）.

（Ⅰ）∵＝（0，b，c），＝（0，0，2c），

＝（0，2b，0），

∴＝（＋）.

∴與、共面.

又∴平面PAD，

∴EF∥平面PAD.……………………4分

（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），

∴?＝（-2 a，0，0）?（0，b，c）＝0.

∴EFCD.…………………………………………………………8分

（Ⅲ）若∠PDA＝45°則有2b＝2c，即b＝c.

∴＝（0，b，b），＝（0，0，2b）.

∴＜，＞＝

∴＜，＞＝45°.

∵AP平面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量.

∴EF與平面ABCD所成的角為90°－＜，＞＝45°.……12分