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(1)試求無窮等比子數(shù)列()各項的和, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為數(shù)學公式．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為數(shù)學公式？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為
1
2
．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為
1
7
？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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（09年雅禮中學月考理）（13分）

定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．已知無窮等比數(shù)列的首項和公比均為．

   （１）試求無窮等比子數(shù)列（）各項的和；

   （２）已知數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列各項的和為，求這個子數(shù)列的通項公式；

   （３）證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

  • 
   
    
    
    
    
     
    
      
      
    
      
    20090116
    答案
    A
    C
    B
    B
    三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）
    16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．
    因為，所以
       
推出．
    依題意可知，當時，取得最小值．而，
    故有，解得．
    又點在橢圓的長軸上，即．故實數(shù)的取值范圍是．
    17．解：（1）當時，；
    當且時，；
    當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）
    當時，．
    （2）由（1）知：當時，集合中的元素的個數(shù)無限；
    當時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集．
    因為，當且僅當時取等號，
    所以當時，集合的元素個數(shù)最少．
    此時，故集合．
    18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
    解：（1）如圖，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)．
    依題意，可得點的坐標，，．
        于是，，．
      
由，則異面直線與所成角的
    大小為．
    （2）解：連結(jié)． 由，
    是的中點，得;
    由面，面，得．
    又，因此面
    由直三棱柱的體積為．可得．
    所以，四棱錐的體積為
    ．
    19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．
    由此可得，；
    由規(guī)律②可知，，
    ；
    又當時，，
    所以，，由條件是正整數(shù)，故取．
        綜上可得，符合條件．
    （2） 解法一：由條件，，可得
    ，
    ，
    ，．
    因為，，所以當時，，
    故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
    解法二：列表，用計算器可算得
    月份
    …
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    …
    人數(shù)
    …
    383
    463
    499
    482
    416
    319
    …
    故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
    20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：
         ；
     
（2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，
    則，即    
    而  則 .
    所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，
    其通項公式為，.
    解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．
    由………… ①
    又若，則對每一
    都有………… ②
    從①、②得；
    則；
    因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子
    數(shù)列，通項公式為，．
    （3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
    問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
    解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
    ，
    因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分數(shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。
    【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】
    問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
    解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
    ………… ①
    若且，則①，矛盾；若且，則①
    ，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則
    ①………… ②
    1當時，②，等式左邊是偶數(shù)，
    右邊是奇數(shù)，矛盾；
    2當時，②
    或
    ，
    兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
    綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。
    【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】
    問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
    解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
    ，
    顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：
    第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，
    各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。
    【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分．若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】
    問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。
    問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．
    【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】