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(2)是否存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列.使得它各項(xiàng)的和為?若存在.求出所有滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式,若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

從數(shù)列{an}中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來(lái)的順序組成一個(gè)數(shù)列,,,…,…，稱之為數(shù)列{an}的一個(gè)子數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a3=6,取n1=1,n2=3.

(Ⅰ)若a1=4，求正整數(shù)m，使，,am成等比數(shù)列；

(Ⅱ)若a1=4，那么{an}是否存在無(wú)窮等比子數(shù)列{}?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(Ⅲ)若{an}存在等比子數(shù)列,,，求整數(shù)a1的值.

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（2007•奉賢區(qū)一模）已知：函數(shù)f(x)=
x
ax+b
(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=
2
3
，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數(shù)列{an}對(duì)n≥2，n∈N總有an=f（an-1），a1=1；求證{
1
an
}為等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式．
（3）是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足：{bn}為{an}的子數(shù)列（即{bn}中的每一項(xiàng)都是{an}的項(xiàng)）且{bn}為無(wú)窮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)和為
1
2
．若存在，找出一個(gè)符合條件的數(shù)列{bn}，寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

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對(duì)于數(shù)列{xn}，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉?lái)數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來(lái)數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為正整數(shù)a，公比為正整數(shù)q（q＞0）的無(wú)窮等比數(shù)列{an}的子數(shù)列問(wèn)題．為此，他任取了其中三項(xiàng)ak，am，an（k＜m＜n）．
（1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比數(shù)列，求k，m，n之間滿足的等量關(guān)系；
（2）他猜想：“在上述數(shù)列{an}中存在一個(gè)子數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”，為此，他研究了ak+an與2an的大小關(guān)系，請(qǐng)你根據(jù)該同學(xué)的研究結(jié)果來(lái)判斷上述猜想是否正確；
（3）他又想：在首項(xiàng)為正整數(shù)a，公差為正整數(shù)d的無(wú)窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列？請(qǐng)你就此問(wèn)題寫(xiě)出一個(gè)正確命題，并加以證明．

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定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無(wú)窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比均為數(shù)學(xué)公式．
（1）試求無(wú)窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為數(shù)學(xué)公式？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫(xiě)出你的問(wèn)題以及問(wèn)題的研究過(guò)程和研究結(jié)論．

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定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無(wú)窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比均為
1
2
．
（1）試求無(wú)窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為
1
7
？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫(xiě)出你的問(wèn)題以及問(wèn)題的研究過(guò)程和研究結(jié)論．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號(hào)

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號(hào)

12

13

14


     

      
      

      
20090116
答案
A
C
B
B
三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）
16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．
因?yàn)?sub>，所以
   
推出．
依題意可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．而，
故有，解得．
又點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上，即．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
17．解：（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；（不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分）
當(dāng)時(shí)，．
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)無(wú)限；
當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合為有限集．
因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)最少．
此時(shí)，故集合．
18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)．
依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，，．
    于是，，．
  
由，則異面直線與所成角的
大小為．
（2）解：連結(jié)． 由，
是的中點(diǎn)，得;
由面，面，得．
又，因此面
由直三棱柱的體積為．可得．
所以，四棱錐的體積為
．
19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．
由此可得，；
由規(guī)律②可知，，
；
又當(dāng)時(shí)，，
所以，，由條件是正整數(shù)，故取．
    綜上可得，符合條件．
（2） 解法一：由條件，，可得
，
，
，．
因?yàn)?sub>，，所以當(dāng)時(shí)，，
故，即一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
解法二：列表，用計(jì)算器可算得
月份
…
6
7
8
9
10
11
…
人數(shù)
…
383
463
499
482
416
319
…
故一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
20．解：（1）依條件得： 則無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：
     ；
 
（2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，
則，即    
而  則 .
所以，滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，
其通項(xiàng)公式為，.
解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．
由………… ①
又若，則對(duì)每一
都有………… ②
從①、②得；
則；
因而滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無(wú)窮等比子
數(shù)列，通項(xiàng)公式為，．
（3）以下給出若干解答供參考，評(píng)分方法參考本小題閱卷說(shuō)明：
問(wèn)題一：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．
解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則
，
因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在。
【以上解答屬于層級(jí)3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分】
問(wèn)題二：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．
解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則
………… ①
若且，則①，矛盾；若且，則①
，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則
①………… ②
1當(dāng)時(shí)，②，等式左邊是偶數(shù)，
右邊是奇數(shù)，矛盾；
2當(dāng)時(shí)，②
或
，
兩個(gè)等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等。
【以上解答屬于層級(jí)4，可得設(shè)計(jì)分5分，解答分7分】
問(wèn)題三：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．
解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則
，
顯然當(dāng)時(shí)，上述等式成立。例如取，，得：
第一個(gè)子數(shù)列：，各項(xiàng)和；第二個(gè)子數(shù)列：，
各項(xiàng)和，有，因而存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍。
【以上解答屬層級(jí)3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分．若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個(gè)層級(jí)評(píng)分】
問(wèn)題四：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說(shuō)明理由．解（略）：存在。
問(wèn)題五：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說(shuō)明理由．解（略）：不存在．
【以上問(wèn)題四、問(wèn)題五等都屬于層級(jí)4的問(wèn)題設(shè)計(jì)，可得設(shè)計(jì)分5分。解答分最高7分】