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要證，只需證，即需，即需證，即證35>11，因為35>11顯然成立，所以原不等式成立。以上證明運用了

A．比較法           B．綜合法           C．分析法           D．反證法

 

已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域為

由，得

當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：

x
	-	0	+
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時，取，有，故時不合題意.當(dāng)時，令，即

令，得

①當(dāng)時，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時，，對于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

已知數(shù)列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

即

故當(dāng)時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .(Ⅰ)設(shè)，求函數(shù)的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問中，當(dāng)時，，．結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值，進而得到最值。

第二問中，∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解：（Ⅰ)當(dāng)時，，．

當(dāng)在上變化時，，的變化情況如下表：

		－		＋
					1／e

∴時，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立,

∵對于任意的時, （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

已知，設(shè)和是方程的兩個根，不等式對任意實數(shù)恒成立；函數(shù)有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點的運用。由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3. 當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實數(shù)m的取值范圍是(4,8]