心理學研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課中，學生的活動隨學習時間的變化而變化，開始學習時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生注意力開始分散，經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)），隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC為線段，CD為雙曲線的一部分）．
（1）分別求出當x≤10，10＜x＜30，以及x≥30時，注意力指標數(shù)y與時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）開始學習后第5分鐘時與第35分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（3）某數(shù)學內(nèi)容的課堂學習大致可分為三個環(huán)節(jié)：即“教師引導，回顧舊知；自主探索，合作交流；總結(jié)歸納，鞏固提高．”其中重點環(huán)節(jié)“自主探索，合作交流”這一過程需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學習時的注意力指標數(shù)不低于40．請問這樣的課堂學習設(shè)計安排是否合理？并說明理由．

探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，下表的n表示“樹型”圖的序號，a_n表示第n個“樹型”圖中“樹枝”的個數(shù)。

圖：

表：

⑴ 根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為____________________。

若直線經(jīng)過點、，求直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說明對任意的正整數(shù)n，點都在直線上。

⑵ 設(shè)直線：與x軸相交于點A，與直線相交于點M，雙曲線經(jīng)過點M，且與直線相交于另一點N。

① 求點N的坐標，并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線、。

② 設(shè)H為雙曲線在點M、N之間的部分（不包括點M、N），P為H上一個動點，點P的橫坐標為，直線MP與x軸相交于點Q，當為何值時，的面積等于的面積的2倍？又是否存在的值，使得的面積等于1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

③ 在y軸上是否存在點G，使得的周長最��？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由。

探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，下表的n表示“樹型”圖的序號，a_n表示第n個“樹型”圖中“樹枝”的個數(shù)．
圖：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為______．
若直線l₁經(jīng)過點（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直線l₁對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說明對任意的正整數(shù)n，點（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）設(shè)直線l₂：y=-x+4與x軸相交于點A，與直線l₁相交于點M，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過點M，且與直線l₂相交于另一點N．
①求點N的坐標，并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線l₁、l₂．
②設(shè)H為雙曲線在點M、N之間的部分（不包括點M、N），P為H上一個動點，點P的橫坐標為t，直線MP與x軸相交于點Q，當t為何值時，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面積等于1？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
③在y軸上是否存在點G，使得△GMN的周長最��？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．