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3．(1) 函數(shù)和方程是密切相關的.對于函數(shù)y＝f(x).當y＝0時.就轉化為方程f(x)＝0.也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f＝0.函數(shù)問題(例如求反函數(shù).求函數(shù)的值域等)可以轉化為方程問題來求解.方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來求解.如解方程f(x)＝0.就是求函數(shù)y＝f(x)的零點.(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉化.對于函數(shù)y＝f(x).當y>0時.就轉化為不等式f(x)>0.借助于函數(shù)圖像與性質解決有關問題.而研究函數(shù)的性質.也離不開解不等式.(3) 數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù).用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要.＝(n∈N*)與二項式定理是密切相關的.利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題.(5) 解析幾何中的許多問題.例如直線和二次曲線的位置關系問題.需要通過解二元方程組才能解決.涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論.(6) 立體幾何中有關線段.角.面積.體積的計算.經常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決.Ⅰ．運用函數(shù)與方程.表達式相互轉化的觀點解決函數(shù).方程.表達式問題.例1 已知..則有(A) (D) 解析 法一:依題設有 a?5-b?+c＝0∴是實系數(shù)一元二次方程的一個實根,∴△＝≥0 ∴ 故選(B)法二:去分母.移項.兩邊平方得:≥10ac+2?5a?c＝20ac∴ 故選(B)點評解法一通過簡單轉化.敏銳地抓住了數(shù)與式的特點.運用方程的思想使問題得到解決,解法二轉化為b2是a.c的函數(shù).運用重要不等式.思路清晰.水到渠成.練習1 已知關于的方程 -(2 m-8)x +-16 = 0的兩個實根 . 滿足 ＜＜.則實數(shù)m的取值范圍 .答案:, 2 已知函數(shù) 的圖象如下.則( )(A) (B)(C) (D)答案:A. 3 求使不等式≤?對大于1的任意x.y恒成立的a的取值范圍.Ⅱ:構造函數(shù)或方程解決有關問題:例2 已知.t∈[.8].對于f(t)值域內的所有實數(shù)m.不等式恒成立.求x的取值范圍.解析∵t∈[.8].∴f(t)∈[.3]原題轉化為:>0恒成立.為m的一次函數(shù)當x＝2時.不等式不成立.∴x≠2.令g(m)＝.m∈[.3]問題轉化為g(m)在m∈[.3]上恒對于0.則:,解得:x>2或x<-1評析 首先明確本題是求x的取值范圍.這里注意另一個變量m.不等式的左邊恰是m的一次函數(shù).因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決.在多個字母變量的問題中.選準“主元 往往是解題的關鍵.例3 為了更好的了解鯨的生活習性.某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置.從海洋放歸點A處.如圖(1)所示.把它放回大海.并沿海岸線由西向東不停地對它進行了長達40分鐘的跟蹤觀測.每隔10分鐘踩點測得數(shù)據(jù)如下表.然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測.已知AB＝15km.觀測站B的觀測半徑為5km.觀測時刻t跟蹤觀測點到放歸點的距離a(km)鯨位于跟蹤觀測點正北 方向的距離b(km)101 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)概念的發(fā)展歷程

　　17世紀，科學家們致力于運動的研究，如計算天體的位置，遠距離航海中對經度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關系，并根據(jù)這種關系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達到的高度和射程．這正是函數(shù)產生和發(fā)展的背景．

　　“function”一詞最初由德國數(shù)學家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數(shù)學家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．

　　萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標、切線等．1718年，他的學生，瑞士數(shù)學家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強調函數(shù)要用公式表示．后來，數(shù)學家認為這不是判斷函數(shù)的標準．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數(shù)學家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”．

　　當時很多數(shù)學家對于不用公式表示函數(shù)很不習慣，甚至抱懷疑態(tài)度．函數(shù)的概念仍然是比較模糊的．

　　隨著對微積分研究的深入，18世紀末19世紀初，人們對函數(shù)的認識向前推進了．德國數(shù)學家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)”．這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進而用更加嚴謹?shù)募虾蛯Z言表述，這就是本節(jié)學習的函數(shù)概念．

　　綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產、生活以及科學技術的實際需要緊密相關，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學習函數(shù)的過程是一樣的．

你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談談從初中到高中學習函數(shù)概念的體會嗎？

1．探尋科學家發(fā)現(xiàn)問題的過程，對指導我們的學習有什么現(xiàn)實意義？

2．萊布尼茲、狄利克雷等科學家有哪些品質值得我們學習？

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