題目列表(包括答案和解析)
，
，
為常數(shù)，離心率為
的雙曲線
：
上的動點
到兩焦點的距離之和的最小值為
，拋物線
：
的焦點與雙曲線的一頂點重合。(Ⅰ)求拋物線的方程；（Ⅱ）過直線
：
（
為負常數(shù)）上任意一點
向拋物線引兩條切線，切點分別為
、
，坐標原點
恒在以
為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為
，所以拋物線的方程
第二問中，為
，
，
，
故直線
的方程為
，即
，
所以
，同理可得：
借助于根與系數(shù)的關系得到即
，
是方程
的兩個不同的根，所以
由已知易得
，即
解：(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為，所以拋物線的方程
（Ⅱ）設為，，，
故直線的方程為，即，
所以，同理可得：，
即，是方程的兩個不同的根，所以
由已知易得
，即
在
中，已知
，面積
，
（1）求的三邊的長；
（2）設
是（含邊界）內(nèi)的一點，到三邊
的距離分別是
①寫出所滿足的等量關系；
②利用線性規(guī)劃相關知識求出
的取值范圍.
【解析】第一問中利用設中角
所對邊分別為
由得
又由
得
即
又由得即
又
又
得
即的三邊長
第二問中，①
得
故
②
令
依題意有
作圖，然后結(jié)合區(qū)域得到最值。
已知二次函數(shù)
的二次項系數(shù)為
，且不等式
的解集為
,
（1）若方程
有兩個相等的根，求的解析式；
（2）若
的最大值為正數(shù)，求的取值范圍．
【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
設出二次函數(shù)的解析式，然后利用判別式得到a的值。
第二問中，
解：（1）∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
①
由方程
②
∵方程②有兩個相等的根，
∴
，
即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5
a=-1/5代入①得：
（2）由
由
解得：
故當f(x)的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是
已知函數(shù)
，
(1)設常數(shù)
，若
在區(qū)間
上是增函數(shù)，求
的取值范圍；
(2)設集合
，
，若
,求
的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運用以及集合關系的運用。
第一問中利用
利用函數(shù)的單調(diào)性得到，參數(shù)的取值范圍。
第二問中，由于
解得參數(shù)m的取值范圍。
(1)由已知
又因為常數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)故參數(shù)
(2)因為集合，，若
已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
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