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19.★(本小題滿分10分)若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設(shè)計的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(單位：cm),則該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計為多高？(下列數(shù)據(jù)供計算時使用:Φ(2.33)≈0.99,Φ(2.06)≈0.98)

分析 本題考查正態(tài)分布在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.它是一道已知正態(tài)分布函數(shù)的值域,而求其自變量范圍的題目.解題的關(guān)鍵是找出正確的函數(shù)表達式,運用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,求變量的范圍.

解 設(shè)該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計為x cm,

則根據(jù)題意可知P(ξ≥x)＜1%.        3分

Eξ=2×+3×+4×+5×=.           10分

8分

P(ξ=5)=()³()²=.         7分

則ξ的分布列為

ξ

2

3

4

5

P

P(ξ=4)=()²()²=;

P(ξ=3)=? ()²=;

(2)P(ξ=2)=()²=;