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7． 已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓相交于點P和點Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程．

解：設橢圓方程為mx²+ny²=1(m>0，n>0)，

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，解方程組

y=x+1，

mx²+ny²=1．

消去y，整理得(m+n)x²+2nx+n－1=0．

Δ=4n²－4(m+n)(n－1)>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx₁x₂+y₁y₂=0，

即x₁x₂+(x₁+1)(x₂+1)=0，2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0，∴－+1=0．

∴m+n=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由弦長公式得2·=()²，將m+n=2代入，得m·n=．　　　 ②

n=　　　　 n=．　

∴橢圓方程為+y²=1或x²+=1．

5． +＝1；　 6．

[解答題]

4． ∵|PF₁|=,　 AB∥PO，ΔOPF₁∽ΔABO

∴=．　 b=c． ∴e===．

6． (2005重慶)已知是圓為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為　　　　　　　　 ．

簡答提示：1．C；2．D；3． ；

5．已知P是橢圓+＝1(a＞b＞0)上任意一點，P與兩焦點連線互相垂直，且P到兩準線距離分別為6、12，則橢圓方程為____________．

4．已知F₁為橢圓的左焦點，A、B分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF₁⊥F₁A，PO∥AB(O為橢圓中心)時，則橢圓的離心率為________．

3．點P在橢圓+=1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標是____________．

2．(2005全國卷Ⅲ)設橢圓的兩個焦點分別為F_1、、F₂，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F₁PF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　 　　　　　 D．

[填空題]

1．(2004全國I)橢圓的兩個焦點為F₁、F₂，過F₁作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點　 為P，則=　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．4

4．會用方程分析解決交點、弦長和求值問題，能正確使用“點差法”及其結論。

同步練習　　　　　 8．1 橢圓方程及性質 　

[選擇題]