題型1：求軌跡方程
例1．(1)一動(dòng)圓與圓
外切，同時(shí)與圓
內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心
的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線。
(2)雙曲線
有動(dòng)點(diǎn)
，
是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求
的重心的軌跡方程。
解析：(1)(法一)設(shè)動(dòng)圓圓心為
，半徑為
，設(shè)已知圓的圓心分別為
、
，
將圓方程分別配方得：
，
，
當(dāng)
與
相切時(shí)，有
①
當(dāng)與
相切時(shí)，有
②
將①②兩式的兩邊分別相加，得
，
即
③
移項(xiàng)再兩邊分別平方得：
④
兩邊再平方得：
，
整理得
，
所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓.
(法二)由解法一可得方程，
由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)
和
的距離和是常數(shù)
，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上，
∴
，
，∴
，
，
∴
，
∴圓心軌跡方程為。
(2)如圖，設(shè)
點(diǎn)坐標(biāo)各為
，∴在已知雙曲線方程中
，∴
∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為
，
∵存在，∴
由三角形重心坐標(biāo)公式有
，即
。
∵，∴
。
已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有
即所求重心的軌跡方程為：
。
點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法.
例2．(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)
已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為
,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
和
,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓
:
的圓心為點(diǎn)
.
(1)求橢圓G的方程
(2)求
的面積
(3)問(wèn)是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說(shuō)明理由.
解(1)設(shè)橢圓G的方程為：
(
)半焦距為c;
則
, 解得
, 
所求橢圓G的方程為：
.
(2 )點(diǎn)
的坐標(biāo)為
(3)若
，由
可知點(diǎn)(6，0)在圓
外，
若
，由
可知點(diǎn)(-6，0)在圓外；
不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.
題型2：圓錐曲線中最值和范圍問(wèn)題
例3．(1)(2009遼寧卷理)以知F是雙曲線
的左焦點(diǎn)，
是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則
的最小值為
。
[解析]注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),
于是由雙曲線性質(zhì)|PF|－|PF’|＝2a＝4
而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5
兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.
[答案]9
(2)(2009重慶卷文、理)已知橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，若橢圓上存在一點(diǎn)使
，則該橢圓的離心率的取值范圍為
．
[解析1]因?yàn)樵?sub>中，由正弦定理得
則由已知，得
，即
設(shè)點(diǎn)
由焦點(diǎn)半徑公式，得
則
記得
由橢圓的幾何性質(zhì)知
，整理得
解得
，故橢圓的離心率
[解析2] 由解析1知
由橢圓的定義知
，由橢圓的幾何性質(zhì)知
所以以下同解析1.
[答案]
(3)(2009四川卷理)已知直線
和直線
，拋物線
上一動(dòng)點(diǎn)到直線
和直線
的距離之和的最小值是( )
A.2
B.3 C.
D.
[考點(diǎn)定位]本小題考查拋物線的定義、點(diǎn)到直線的距離，綜合題。
[解析1]直線為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到
的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)
的距離，故本題化為在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)和直線的距離之和最小，最小值為到直線的距離，即
，故選擇A。
[解析2]如圖，由題意可知
[答案]A
點(diǎn)評(píng)：由△PAF成立的條件
，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出
這一關(guān)鍵結(jié)論.
例4．(1)(2009江蘇卷)(本題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系
中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在軸上。
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；
(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)
的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為
，求關(guān)于
的表達(dá)式。
(2)(2009山東卷文)(本小題滿分14分)
設(shè)
,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
,向量
,
,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知
,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;
(3)已知,設(shè)直線
與圓C:
(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解(1)因?yàn)?sub>,,,
所以
, 即
.
當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為
;
當(dāng)
時(shí), 方程表示的是圓
當(dāng)
且
時(shí),方程表示的是橢圓;
當(dāng)
時(shí),方程表示的是雙曲線.
(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為
,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為
,解方程組
得
,即
,
要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
則使△=
,
即
,即
,
且
,
要使
, 需使
,即
,
所以
, 即
且, 即
恒成立.
所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑為
,
, 所求的圓為
.
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為
,與交于點(diǎn)
或
也滿足.
綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.
(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知
, 即
①,
因?yàn)?sub>與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,
由(2)知得,
即有唯一解
則△=
, 即
,
②
由①②得
, 此時(shí)A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn),
由 中
,所以,
,
B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以
,所以
,
在直角三角形OA1B1中,
因?yàn)?sub>
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào),所以
,即
當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1.
[命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過(guò)解方程組法研究有沒(méi)有交點(diǎn)問(wèn)題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.
題型3：證明問(wèn)題和對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
例5．(1)如圖，橢圓
＝1(a＞b＞0)與過(guò)點(diǎn)A(2，0)B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
.
(Ⅰ)求橢圓方程；
(Ⅱ)設(shè)F
、F
分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT。
解 (1)由題意：
，解得
，所求橢圓方程為 
(2)(2009天津卷文)(本小題滿分14分)
已知橢圓
(
)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
，過(guò)點(diǎn)
的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且
(Ⅰ求橢圓的離心率；
(Ⅱ)直線AB的斜率；
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線
上有一點(diǎn)H(m,n)(
)在
的外接圓上，求
的值。
解 (1)由
，得
,從而
，整理得
，故離心率
(2)由(1)知，
，所以橢圓的方程可以寫(xiě)為
設(shè)直線AB的方程為
即
由已知設(shè)
則它們的坐標(biāo)滿足方程組
消去y整理，得
依題意，
而
，有題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，
所以
聯(lián)立三式，解得
，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得
.
(3)由(2)知，
，當(dāng)
時(shí)，得A
由已知得
線段
的垂直平分線l的方程為
直線l與x軸的交點(diǎn)
是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為
直線的方程為
，于是點(diǎn)
滿足方程組
由，解得
，故
當(dāng)
時(shí)，同理可得.
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。
(3)在平面直角坐標(biāo)系O
中，直線與拋物線
＝2相交于A、B兩點(diǎn).
①求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3，0)，那么
＝3”是真命題；
②寫(xiě)出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．
解析：
(3)證明：①設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2).
當(dāng)直線l的鈄率下存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于A(3,
)、B(3,－)，∴
=3。
當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.
|
當(dāng) |
 y2=2x |
得ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6. |
|
y=k(x－3) |
又∵x1=
y
, x2=y
,
∴=x1x2+y1y2=
=3.
綜上所述, 命題“如果直線l過(guò)點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題.
②逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.
例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,
直線AB的方程為Y=
(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.
點(diǎn)評(píng)：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2)滿足=3,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2,
可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(－1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0)。
例6．(1)(2009遼寧卷文、理)(本小題滿分12分)
已知，橢圓C以過(guò)點(diǎn)A(1，
)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1，0)(1，0)。
(1) 求橢圓C的方程；
(2) E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值�！�
(Ⅰ)解 由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為
。
因?yàn)?i>A在橢圓上，所以
，解得
＝3，＝
(舍去)。
所以橢圓方程為 
．
(Ⅱ)證明 設(shè)直線AE方程：得
，代入得
設(shè)E(
，
)，F(
，
)．因?yàn)辄c(diǎn)A(1，)在橢圓上，
所以
，
。
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以
代
，可得
，
。
所以直線EF的斜率
。
即直線EF的斜率為定值，其值為
�！ �
(2)(2009福建卷文)(本小題滿分14分)
已知直線
經(jīng)過(guò)橢圓
的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓
的右頂點(diǎn)為
，點(diǎn)
和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，
與直線
分別交于
兩點(diǎn).
(I)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；
(Ⅲ)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)
，使得
的面積為
？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由
解 方法一(I)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為
上頂點(diǎn)為
故橢圓的方程為
(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在，且
，故可設(shè)直線
的方程為
，
從而
由
得
0
設(shè)
則
得
，從而
即
又
由
得
故
又
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)等號(hào)成立
時(shí)，線段
的長(zhǎng)度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，當(dāng)取最小值時(shí)，
此時(shí)
的方程為
要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于
，所以在平行于且與距離等于的直線上。
設(shè)直線
則由
解得
或
題型4：知識(shí)交匯題
例7．已知點(diǎn)
,
是拋物線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
是坐標(biāo)原點(diǎn),向量
,
滿足
.設(shè)圓的方程為
(I) 證明線段
是圓的直徑;
(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為
時(shí)，求p的值.
解析：(I)證明1: 
整理得: 
試題詳情
2．圓錐曲線綜合問(wèn)題
(1)圓錐曲線中的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題
通常有兩類(lèi)：一類(lèi)是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的最值問(wèn)題；一類(lèi)是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題往往通過(guò)定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來(lái)解決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來(lái)。
圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法：
設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：
若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|．
在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍.
(2)對(duì)稱(chēng)、存在性問(wèn)題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題
它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法。
(3)實(shí)際應(yīng)用題
數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測(cè)，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等.
涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：
(4)知識(shí)交匯題
圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題.
1．曲線方程
(1)求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：
|
步 驟 |
含 義 |
說(shuō) 明 |
|
1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。 |
建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。 |
(1)
所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。 (2) 沒(méi)有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 |
|
2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。 |
寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)} |
這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫(xiě)出的條件簡(jiǎn)明正確。 |
|
3、“代”：代換 |
用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 |
常常用到一些公式。 |
|
4、“化”：化簡(jiǎn) |
化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。 |
要注意同解變形。 |
|
5、證明 |
證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 |
化簡(jiǎn)的過(guò)程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。 |
這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”
(2)求曲線方程的常見(jiàn)方法：
直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來(lái)求解。這是求曲線方程的基本方法。
轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。
幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法.
參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。
2．可能出現(xiàn)1道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出現(xiàn)在解答題中間的小問(wèn).
1．出現(xiàn)1道復(fù)合其它知識(shí)的圓錐曲線綜合題；
2．與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題、靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。
預(yù)測(cè)2010年高考：
近年來(lái)圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。但圓錐曲線在新課標(biāo)中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計(jì)2007年高考對(duì)本講的考察，仍將以以下三類(lèi)題型為主.
1．求曲線(或軌跡)的方程，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考察學(xué)生理解解析幾何問(wèn)題的基本思想方法和能力；
3．了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
2．通過(guò)圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；
1．由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問(wèn)題�；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練；
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