探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹(shù)型”圖，下表的n表示“樹(shù)型”圖的序號(hào)，a_n表示第n個(gè)“樹(shù)型”圖中“樹(shù)枝”的個(gè)數(shù)．
圖：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為_(kāi)_____．
若直線l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直線l₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）設(shè)直線l₂：y=-x+4與x軸相交于點(diǎn)A，與直線l₁相交于點(diǎn)M，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與直線l₂相交于另一點(diǎn)N．
①求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出雙曲線及直線l₁、l₂．
②設(shè)H為雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分（不包括點(diǎn)M、N），P為H上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線MP與x軸相交于點(diǎn)Q，當(dāng)t為何值時(shí)，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面積等于1？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
③在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得△GMN的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．